แก้โจทย์ {c}{x+y=122}{(y/2-11)-(x-11/2)=18}

$$\left. \begin{array} { c } { x + y = 122 } \\ { ( \frac { y } { 2 } - 11 ) - ( \frac { x - 11 } { 2 } ) = 18 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{75}{2} = 37\frac{1}{2} = 37.5$$

$$y = \frac{169}{2} = 84\frac{1}{2} = 84.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-11 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$y-22-x+11=36$$

เพิ่ม -22 และ 11 เพื่อให้ได้รับ -11

$$y-11-x=36$$

เพิ่ม 11 ไปทั้งสองด้าน

$$y-x=36+11$$

เพิ่ม 36 และ 11 เพื่อให้ได้รับ 47

$$y-x=47$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=122,-x+y=47$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=122$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+122$$

ทดแทน -y+122 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+y=47

$$-\left(-y+122\right)+y=47$$

คูณ -1 ด้วย -y+122

$$y-122+y=47$$

เพิ่ม y ไปยัง y

$$2y-122=47$$

เพิ่ม 122 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2y=169$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$y=\frac{169}{2}$$

ทดแทน \frac{169}{2} สำหรับ y ใน x=-y+122 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{169}{2}+122$$

เพิ่ม 122 ไปยัง -\frac{169}{2}

$$x=\frac{75}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-11 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$y-22-x+11=36$$

เพิ่ม -22 และ 11 เพื่อให้ได้รับ -11

$$y-11-x=36$$

เพิ่ม 11 ไปทั้งสองด้าน

$$y-x=36+11$$

เพิ่ม 36 และ 11 เพื่อให้ได้รับ 47

$$y-x=47$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=122,-x+y=47$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}122\\47\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 122-\frac{1}{2}\times 47\\\frac{1}{2}\times 122+\frac{1}{2}\times 47\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{75}{2}\\\frac{169}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 2

$$y-22-\left(x-11\right)=36$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x-11 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$y-22-x+11=36$$

เพิ่ม -22 และ 11 เพื่อให้ได้รับ -11

$$y-11-x=36$$

เพิ่ม 11 ไปทั้งสองด้าน

$$y-x=36+11$$

เพิ่ม 36 และ 11 เพื่อให้ได้รับ 47

$$y-x=47$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=122,-x+y=47$$

ลบ -x+y=47 จาก x+y=122 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+x+y-y=122-47$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$x+x=122-47$$

เพิ่ม x ไปยัง x

$$2x=122-47$$

เพิ่ม 122 ไปยัง -47

$$2x=75$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{75}{2}$$

ทดแทน \frac{75}{2} สำหรับ x ใน -x+y=47 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$-\frac{75}{2}+y=47$$

เพิ่ม \frac{75}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{169}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{75}{2},y=\frac{169}{2}$$