แก้โจทย์ {c}{3x-3y=-2^2}{(4-2)x-y=2(2)}

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x - 3 y = - 2 ^ { 2 } } \\ { ( 4 - 2 ) x - y = 2 ( 2 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = \frac{20}{3} = 6\frac{2}{3} \approx 6.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3y=-4$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=3y-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(3y-4\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 3y-4

$$x=y-\frac{4}{3}$$

ทดแทน y-\frac{4}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=4

$$2\left(y-\frac{4}{3}\right)-y=4$$

คูณ 2 ด้วย y-\frac{4}{3}

$$2y-\frac{8}{3}-y=4$$

เพิ่ม 2y ไปยัง -y

$$y-\frac{8}{3}=4$$

เพิ่ม \frac{8}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{20}{3}$$

ทดแทน \frac{20}{3} สำหรับ y ใน x=y-\frac{4}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{20-4}{3}$$

เพิ่ม -\frac{4}{3} ไปยัง \frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{16}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&1\\-\frac{2}{3}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+4\\-\frac{2}{3}\left(-4\right)+4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\\frac{20}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-3y=-4,2x-y=4$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\left(-3\right)y=2\left(-4\right),3\times 2x+3\left(-1\right)y=3\times 4$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-6y=-8,6x-3y=12$$

ลบ 6x-3y=12 จาก 6x-6y=-8 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-6y+3y=-8-12$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-6y+3y=-8-12$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 3y

$$-3y=-8-12$$

เพิ่ม -8 ไปยัง -12

$$-3y=-20$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=\frac{20}{3}$$

ทดแทน \frac{20}{3} สำหรับ y ใน 2x-y=4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\frac{20}{3}=4$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=\frac{32}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{16}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{16}{3},y=\frac{20}{3}$$