แก้โจทย์ {c}{-3a+5b=11}{6a+2b=26}

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 a + 5 b = 11 } \\ { 6 a + 2 b = 26 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=3$$

$$b=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3a+5b=11$$

ลบ 5b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3a=-5b+11$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$a=-\frac{1}{3}\left(-5b+11\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -5b+11

$$a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}$$

ทดแทน \frac{5b-11}{3} สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 6a+2b=26

$$6\left(\frac{5}{3}b-\frac{11}{3}\right)+2b=26$$

คูณ 6 ด้วย \frac{5b-11}{3}

$$10b-22+2b=26$$

เพิ่ม 10b ไปยัง 2b

$$12b-22=26$$

เพิ่ม 22 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12b=48$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$b=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ b ใน a=\frac{5}{3}b-\frac{11}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=\frac{5}{3}\times 4-\frac{11}{3}$$

คูณ \frac{5}{3} ด้วย 4

$$a=\frac{20-11}{3}$$

เพิ่ม -\frac{11}{3} ไปยัง \frac{20}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$a=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&5\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{5}{-3\times 2-5\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 2-5\times 6}&-\frac{3}{-3\times 2-5\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}&\frac{5}{36}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\26\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{18}\times 11+\frac{5}{36}\times 26\\\frac{1}{6}\times 11+\frac{1}{12}\times 26\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=3,b=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3a+5b=11,6a+2b=26$$

เพื่อทำให้ -3a และ 6a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$6\left(-3\right)a+6\times 5b=6\times 11,-3\times 6a-3\times 2b=-3\times 26$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-18a+30b=66,-18a-6b=-78$$

ลบ -18a-6b=-78 จาก -18a+30b=66 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-18a+18a+30b+6b=66+78$$

เพิ่ม -18a ไปยัง 18a ตัดพจน์ -18a และ 18a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$30b+6b=66+78$$

เพิ่ม 30b ไปยัง 6b

$$36b=66+78$$

เพิ่ม 66 ไปยัง 78

$$36b=144$$

หารทั้งสองข้างด้วย 36

$$b=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ b ใน 6a+2b=26 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$6a+2\times 4=26$$

คูณ 2 ด้วย 4

$$6a+8=26$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6a=18$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$a=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=4$$