แก้โจทย์ {c}{-2x+7y=10}{3x+7y=2}

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 7 y = 10 } \\ { 3 x + 7 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

$$y=\frac{34}{35}\approx 0.971428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+7y=10$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-7y+10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(-7y+10\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย -7y+10

$$x=\frac{7}{2}y-5$$

ทดแทน \frac{7y}{2}-5 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+7y=2

$$3\left(\frac{7}{2}y-5\right)+7y=2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{7y}{2}-5

$$\frac{21}{2}y-15+7y=2$$

เพิ่ม \frac{21y}{2} ไปยัง 7y

$$\frac{35}{2}y-15=2$$

เพิ่ม 15 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{35}{2}y=17$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{35}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{34}{35}$$

ทดแทน \frac{34}{35} สำหรับ y ใน x=\frac{7}{2}y-5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{7}{2}\times \frac{34}{35}-5$$

คูณ \frac{7}{2} ครั้ง \frac{34}{35} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{17}{5}-5$$

เพิ่ม -5 ไปยัง \frac{17}{5}

$$x=-\frac{8}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&7\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{7}{-2\times 7-7\times 3}\\-\frac{3}{-2\times 7-7\times 3}&-\frac{2}{-2\times 7-7\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{3}{35}&\frac{2}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 10+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{3}{35}\times 10+\frac{2}{35}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{5}\\\frac{34}{35}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x+7y=10,3x+7y=2$$

ลบ 3x+7y=2 จาก -2x+7y=10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x-3x+7y-7y=10-2$$

เพิ่ม 7y ไปยัง -7y ตัดพจน์ 7y และ -7y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-2x-3x=10-2$$

เพิ่ม -2x ไปยัง -3x

$$-5x=10-2$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -2

$$-5x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-\frac{8}{5}$$

ทดแทน -\frac{8}{5} สำหรับ x ใน 3x+7y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$3\left(-\frac{8}{5}\right)+7y=2$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{8}{5}

$$-\frac{24}{5}+7y=2$$

เพิ่ม \frac{24}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7y=\frac{34}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$y=\frac{34}{35}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{8}{5},y=\frac{34}{35}$$