แก้โจทย์ {c}{(1-2/x+1)divx^2-2x+1/x+1=y}{x=sqrt{2}+1}

$$\left. \begin{array} { c } { ( 1 - \frac { 2 } { x + 1 } ) \div \frac { x ^ { 2 } - 2 x + 1 } { x + 1 } = y } \\ { x = \sqrt { 2 } + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\sqrt{2}+1\approx 2.414213562$$

$$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707106781$$

ขั้นตอนการหาผลเฉลย

พิจารณาสมการแรก แทรกค่าที่รู้จักของตัวแปรลงในสมการ

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+1+1}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$\frac{1-\frac{2}{\sqrt{2}+2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ทำตัวส่วนของ \frac{2}{\sqrt{2}+2} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{2}-2

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

พิจารณา \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ยกกำลังสอง \sqrt{2} ยกกำลังสอง 2

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$\frac{1-\frac{2\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ตัด -2 และ -2

$$\frac{1-\left(-\left(\sqrt{2}-2\right)\right)}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ตรงข้ามกับ -\left(\sqrt{2}-2\right) คือ \sqrt{2}-2

$$\frac{1+\sqrt{2}-2}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ลบ 2 จาก 1 เพื่อรับ -1

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(\sqrt{2}+1\right)^{2}

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{2+2\sqrt{2}+1-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

เพิ่ม 2 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 3

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{3+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)+1}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

เพิ่ม 3 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 4

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+1+1}}=y$$

เพิ่ม 1 และ 1 เพื่อให้ได้รับ 2

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2}}=y$$

ทำตัวส่วนของ \frac{4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+2} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย \sqrt{2}-2

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}}=y$$

พิจารณา \left(\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{2}-2\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}}=y$$

ยกกำลังสอง \sqrt{2} ยกกำลังสอง 2

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{2-4}}=y$$

ลบ 4 จาก 2 เพื่อรับ -2

$$\frac{-1+\sqrt{2}}{\frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}}=y$$

หาร -1+\sqrt{2} ด้วย \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2} โดยคูณ -1+\sqrt{2} ด้วยส่วนกลับของ \frac{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}{-2}

$$\frac{\left(-1+\sqrt{2}\right)\left(-2\right)}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -1+\sqrt{2} ด้วย -2

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -2 ด้วย \sqrt{2}+1

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

รวม 2\sqrt{2} และ -2\sqrt{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{\left(4-2\right)\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

ลบ 2 จาก 4 เพื่อรับ 2

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}-2\right)}=y$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย \sqrt{2}-2

$$\frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4}=y$$

ทำตัวส่วนของ \frac{2-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-4} ด้วยการคูณเศษและตัวส่วนด้วย 2\sqrt{2}+4

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}=y$$

พิจารณา \left(2\sqrt{2}-4\right)\left(2\sqrt{2}+4\right) การคูณสามารถถูกแปลงเป็นยกกำลังสองต่างๆ โดยใช้กฎ: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2} ได้

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

ขยาย \left(2\sqrt{2}\right)^{2}

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

คำนวณ 2 กำลังของ 2 และรับ 4

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-4^{2}}=y$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{4\times 2-4^{2}}=y$$

คูณ 4 และ 2 เพื่อรับ 8

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-4^{2}}=y$$

คำนวณ 4 กำลังของ 2 และรับ 16

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{8-16}=y$$

ลบ 16 จาก 8 เพื่อรับ -8

$$\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}=y$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$y=\frac{\left(2-2\sqrt{2}\right)\left(2\sqrt{2}+4\right)}{-8}$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2-2\sqrt{2} ด้วย 2\sqrt{2}+4 และรวมพจน์ที่เหมือนกัน

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{-8}$$

รากที่สองของ \sqrt{2} คือ 2

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-4\times 2}{-8}$$

คูณ -4 และ 2 เพื่อรับ -8

$$y=\frac{-4\sqrt{2}+8-8}{-8}$$

ลบ 8 จาก 8 เพื่อรับ 0

$$y=\frac{-4\sqrt{2}}{-8}$$

หาร -4\sqrt{2} ด้วย -8 เพื่อรับ \frac{1}{2}\sqrt{2}

$$y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\sqrt{2}+1 y=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$