แก้โจทย์ {r}{1/3x+1/2y=1}{x+3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 1 } { 3 } x + \frac { 1 } { 2 } y = 1 } \\ { x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-3$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1,x+3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1$$

ลบ \frac{y}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{3}x=-\frac{1}{2}y+1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=3\left(-\frac{1}{2}y+1\right)$$

คูณ 3 ด้วย -\frac{y}{2}+1

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

ทดแทน -\frac{3y}{2}+3 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+3y=9

$$-\frac{3}{2}y+3+3y=9$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{3}{2}y+3=9$$

ลบ 3 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{3}{2}y=6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{3}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x=-\frac{3}{2}y+3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{3}{2}\times 4+3$$

คูณ -\frac{3}{2} ด้วย 4

$$x=-6+3$$

เพิ่ม 3 ไปยัง -6

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=4$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1,x+3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{2}}&-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{2}}&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6&-1\\-2&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6-9\\-2+\frac{2}{3}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-3,y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1,x+3y=9$$

เพื่อทำให้ \frac{x}{3} และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{1}{3}

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1,\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\times 3y=\frac{1}{3}\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1,\frac{1}{3}x+y=3$$

ลบ \frac{1}{3}x+y=3 จาก \frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y-y=1-3$$

เพิ่ม \frac{x}{3} ไปยัง -\frac{x}{3} ตัดพจน์ \frac{x}{3} และ -\frac{x}{3} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{1}{2}y-y=1-3$$

เพิ่ม \frac{y}{2} ไปยัง -y

$$-\frac{1}{2}y=1-3$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -3

$$-\frac{1}{2}y=-2$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -2

$$y=4$$

ทดแทน 4 สำหรับ y ใน x+3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+3\times 4=9$$

คูณ 3 ด้วย 4

$$x+12=9$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-3,y=4$$