แก้โจทย์ {l}{y=-5x+1}{5x+2y=7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=-1$$

$$y=6$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+5x=1$$

ลบ 5x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-5x+1$$

ทดแทน -5x+1 สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 2y+5x=7

$$2\left(-5x+1\right)+5x=7$$

คูณ 2 ด้วย -5x+1

$$-10x+2+5x=7$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 5x

$$-5x+2=7$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x=5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$x=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ x ใน y=-5x+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-5\left(-1\right)+1$$

คูณ -5 ด้วย -1

$$y=5+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง 5

$$y=6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&5\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-5\times 2}&-\frac{5}{5-5\times 2}\\-\frac{2}{5-5\times 2}&\frac{1}{5-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1+7\\\frac{2}{5}-\frac{1}{5}\times 7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=6,x=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม 5x ไปทั้งสองด้าน

$$y+5x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+5x=1,2y+5x=7$$

ลบ 2y+5x=7 จาก y+5x=1 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-2y+5x-5x=1-7$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-2y=1-7$$

เพิ่ม y ไปยัง -2y

$$-y=1-7$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -7

$$-y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=6$$

ทดแทน 6 สำหรับ y ใน 2y+5x=7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2\times 6+5x=7$$

คูณ 2 ด้วย 6

$$12+5x=7$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=6,x=-1$$