แก้โจทย์ {l}{y=-3/4x+3/4}{y=4/3x+11/3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = - \frac { 3 } { 4 } x + \frac { 3 } { 4 } } \\ { y = \frac { 4 } { 3 } x + \frac { 11 } { 3 } } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$y = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

ลบ \frac{3x}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$$

ทดแทน \frac{-3x+3}{4} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}

$$-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

เพิ่ม -\frac{3x}{4} ไปยัง -\frac{4x}{3}

$$-\frac{25}{12}x+\frac{3}{4}=\frac{11}{3}$$

ลบ \frac{3}{4} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{25}{12}x=\frac{35}{12}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{25}{12} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{7}{5}$$

ทดแทน -\frac{7}{5} สำหรับ x ใน y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{5}\right)+\frac{3}{4}$$

คูณ -\frac{3}{4} ครั้ง -\frac{7}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{21}{20}+\frac{3}{4}$$

เพิ่ม \frac{3}{4} ไปยัง \frac{21}{20} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{4}\\1&-\frac{4}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{4}{3}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&-\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\\-\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}&\frac{1}{-\frac{4}{3}-\frac{3}{4}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}&\frac{9}{25}\\\frac{12}{25}&-\frac{12}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{25}\times \frac{3}{4}+\frac{9}{25}\times \frac{11}{3}\\\frac{12}{25}\times \frac{3}{4}-\frac{12}{25}\times \frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก เพิ่ม \frac{3}{4}x ไปทั้งสองด้าน

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4}$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ \frac{4}{3}x จากทั้งสองด้าน

$$y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4},y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3}$$

ลบ y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} จาก y+\frac{3}{4}x=\frac{3}{4} โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$y-y+\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{3}{4}x+\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

เพิ่ม \frac{3x}{4} ไปยัง \frac{4x}{3}

$$\frac{25}{12}x=\frac{3}{4}-\frac{11}{3}$$

เพิ่ม \frac{3}{4} ไปยัง -\frac{11}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$\frac{25}{12}x=-\frac{35}{12}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{12} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=-\frac{7}{5}$$

ทดแทน -\frac{7}{5} สำหรับ x ใน y-\frac{4}{3}x=\frac{11}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y-\frac{4}{3}\left(-\frac{7}{5}\right)=\frac{11}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ครั้ง -\frac{7}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$y+\frac{28}{15}=\frac{11}{3}$$

ลบ \frac{28}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$y=\frac{9}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{9}{5},x=-\frac{7}{5}$$