แก้โจทย์ {l}{x-2y=-6}{6x+3y=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - 2 y = - 6 } \\ { 6 x + 3 y = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{14}{15}\approx -0.933333333$$

$$y = \frac{38}{15} = 2\frac{8}{15} \approx 2.533333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=-6$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y-6$$

ทดแทน -6+2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 6x+3y=2

$$6\left(2y-6\right)+3y=2$$

คูณ 6 ด้วย -6+2y

$$12y-36+3y=2$$

เพิ่ม 12y ไปยัง 3y

$$15y-36=2$$

เพิ่ม 36 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$15y=38$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=\frac{38}{15}$$

ทดแทน \frac{38}{15} สำหรับ y ใน x=2y-6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\times \frac{38}{15}-6$$

คูณ 2 ด้วย \frac{38}{15}

$$x=\frac{76}{15}-6$$

เพิ่ม -6 ไปยัง \frac{76}{15}

$$x=-\frac{14}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{1}{3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{15}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\left(-6\right)+\frac{2}{15}\times 2\\-\frac{2}{5}\left(-6\right)+\frac{1}{15}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{15}\\\frac{38}{15}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=-6,6x+3y=2$$

เพื่อทำให้ x และ 6x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 6 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$6x+6\left(-2\right)y=6\left(-6\right),6x+3y=2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x-12y=-36,6x+3y=2$$

ลบ 6x+3y=2 จาก 6x-12y=-36 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x-12y-3y=-36-2$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-3y=-36-2$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -3y

$$-15y=-36-2$$

เพิ่ม -36 ไปยัง -2

$$-15y=-38$$

หารทั้งสองข้างด้วย -15

$$y=\frac{38}{15}$$

ทดแทน \frac{38}{15} สำหรับ y ใน 6x+3y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$6x+3\times \frac{38}{15}=2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{38}{15}

$$6x+\frac{38}{5}=2$$

ลบ \frac{38}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=-\frac{28}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=-\frac{14}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{14}{15},y=\frac{38}{15}$$