แก้โจทย์ {l}{x=3y-2}{y=2x-y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = 3 y - 2 } \\ { y = 2 x - y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$y-2x+y=0$$

รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$2y-2x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-3y=-2$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=3y-2$$

ทดแทน 3y-2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x+2y=0

$$-2\left(3y-2\right)+2y=0$$

คูณ -2 ด้วย 3y-2

$$-6y+4+2y=0$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 2y

$$-4y+4=0$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-4y=-4$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=3y-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=3-2$$

เพิ่ม -2 ไปยัง 3

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$y-2x+y=0$$

รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$2y-2x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{3}{4}\\-\frac{1}{2}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 3y จากทั้งสองด้าน

$$x-3y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$y-2x=-y$$

เพิ่ม y ไปทั้งสองด้าน

$$y-2x+y=0$$

รวม y และ y เพื่อให้ได้รับ 2y

$$2y-2x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-3y=-2,-2x+2y=0$$

เพื่อทำให้ x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-2x-2\left(-3\right)y=-2\left(-2\right),-2x+2y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+6y=4,-2x+2y=0$$

ลบ -2x+2y=0 จาก -2x+6y=4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+6y-2y=4$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-2y=4$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -2y

$$4y=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน -2x+2y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x+2=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1,y=1$$