แก้โจทย์ {l}{x+y=50}{10x+20y=500}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 50 } \\ { 10 x + 20 y = 500 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=50$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=50,10x+20y=500$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=50$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+50$$

ทดแทน -y+50 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 10x+20y=500

$$10\left(-y+50\right)+20y=500$$

คูณ 10 ด้วย -y+50

$$-10y+500+20y=500$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 20y

$$10y+500=500$$

ลบ 500 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$10y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=-y+50 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=50$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=50,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=50,10x+20y=500$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\10&20\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{20}{20-10}&-\frac{1}{20-10}\\-\frac{10}{20-10}&\frac{1}{20-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{10}\\-1&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}50\\500\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 50-\frac{1}{10}\times 500\\-50+\frac{1}{10}\times 500\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=50,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=50,10x+20y=500$$

เพื่อทำให้ x และ 10x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 10 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$10x+10y=10\times 50,10x+20y=500$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$10x+10y=500,10x+20y=500$$

ลบ 10x+20y=500 จาก 10x+10y=500 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$10x-10x+10y-20y=500-500$$

เพิ่ม 10x ไปยัง -10x ตัดพจน์ 10x และ -10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-20y=500-500$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -20y

$$-10y=500-500$$

เพิ่ม 500 ไปยัง -500

$$-10y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน 10x+20y=500 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$10x=500$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$x=50$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=50,y=0$$