แก้โจทย์ {l}{x+y=36}{5/7=x/y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 36 } \\ { \frac { 5 } { 7 } = \frac { x } { y } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=15$$

$$y=21$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 7y ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,y

$$5y=7x$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$5y-7x=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=36$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+36$$

ทดแทน -y+36 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -7x+5y=0

$$-7\left(-y+36\right)+5y=0$$

คูณ -7 ด้วย -y+36

$$7y-252+5y=0$$

เพิ่ม 7y ไปยัง 5y

$$12y-252=0$$

เพิ่ม 252 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12y=252$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=21$$

ทดแทน 21 สำหรับ y ใน x=-y+36 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-21+36$$

เพิ่ม 36 ไปยัง -21

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=21$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 7y ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,y

$$5y=7x$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$5y-7x=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-7&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-7\right)}&-\frac{1}{5-\left(-7\right)}\\-\frac{-7}{5-\left(-7\right)}&\frac{1}{5-\left(-7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{1}{12}\\\frac{7}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}36\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 36\\\frac{7}{12}\times 36\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\21\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=15,y=21$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ตัวแปร y ไม่สามารถเท่ากับ 0 เนื่องจากไม่ได้กำหนดให้หารด้วยศูนย์ได้ คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 7y ตัวคูณร่วมน้อยของ 7,y

$$5y=7x$$

ลบ 7x จากทั้งสองด้าน

$$5y-7x=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=36,-7x+5y=0$$

เพื่อทำให้ x และ -7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-7x-7y=-7\times 36,-7x+5y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-7x-7y=-252,-7x+5y=0$$

ลบ -7x+5y=0 จาก -7x-7y=-252 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-7x+7x-7y-5y=-252$$

เพิ่ม -7x ไปยัง 7x ตัดพจน์ -7x และ 7x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-7y-5y=-252$$

เพิ่ม -7y ไปยัง -5y

$$-12y=-252$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=21$$

ทดแทน 21 สำหรับ y ใน -7x+5y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-7x+5\times 21=0$$

คูณ 5 ด้วย 21

$$-7x+105=0$$

ลบ 105 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=-105$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=15$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=15,y=21$$