แก้โจทย์ {l}{x+y=30000}{0.66x-0.03y=90}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 30000 } \\ { 0.66 x - 0.03 y = 90 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{33000}{23} = 1434\frac{18}{23} \approx 1434.782608696$$

$$y = \frac{657000}{23} = 28565\frac{5}{23} \approx 28565.217391304$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=30000$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+30000$$

ทดแทน -y+30000 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 0.66x-0.03y=90

$$0.66\left(-y+30000\right)-0.03y=90$$

คูณ 0.66 ด้วย -y+30000

$$-0.66y+19800-0.03y=90$$

เพิ่ม -\frac{33y}{50} ไปยัง -\frac{3y}{100}

$$-0.69y+19800=90$$

ลบ 19800 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-0.69y=-19710$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -0.69 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{657000}{23}$$

ทดแทน \frac{657000}{23} สำหรับ y ใน x=-y+30000 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{657000}{23}+30000$$

เพิ่ม 30000 ไปยัง -\frac{657000}{23}

$$x=\frac{33000}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.66&-0.03\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{0.03}{-0.03-0.66}&-\frac{1}{-0.03-0.66}\\-\frac{0.66}{-0.03-0.66}&\frac{1}{-0.03-0.66}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}&\frac{100}{69}\\\frac{22}{23}&-\frac{100}{69}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30000\\90\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{23}\times 30000+\frac{100}{69}\times 90\\\frac{22}{23}\times 30000-\frac{100}{69}\times 90\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33000}{23}\\\frac{657000}{23}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=30000,0.66x-0.03y=90$$

เพื่อทำให้ x และ \frac{33x}{50} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 0.66 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$0.66x+0.66y=0.66\times 30000,0.66x-0.03y=90$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$0.66x+0.66y=19800,0.66x-0.03y=90$$

ลบ 0.66x-0.03y=90 จาก 0.66x+0.66y=19800 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$0.66x-0.66x+0.66y+0.03y=19800-90$$

เพิ่ม \frac{33x}{50} ไปยัง -\frac{33x}{50} ตัดพจน์ \frac{33x}{50} และ -\frac{33x}{50} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$0.66y+0.03y=19800-90$$

เพิ่ม \frac{33y}{50} ไปยัง \frac{3y}{100}

$$0.69y=19800-90$$

เพิ่ม 19800 ไปยัง -90

$$0.69y=19710$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.69 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{657000}{23}$$

ทดแทน \frac{657000}{23} สำหรับ y ใน 0.66x-0.03y=90 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$0.66x-0.03\times \frac{657000}{23}=90$$

คูณ -0.03 ครั้ง \frac{657000}{23} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$0.66x-\frac{19710}{23}=90$$

เพิ่ม \frac{19710}{23} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$0.66x=\frac{21780}{23}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย 0.66 ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{33000}{23}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{33000}{23},y=\frac{657000}{23}$$