แก้โจทย์ {l}{x+y=27}{7x-3y=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 27 } \\ { 7 x - 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=18$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=27,7x-3y=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=27$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+27$$

ทดแทน -y+27 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 7x-3y=9

$$7\left(-y+27\right)-3y=9$$

คูณ 7 ด้วย -y+27

$$-7y+189-3y=9$$

เพิ่ม -7y ไปยัง -3y

$$-10y+189=9$$

ลบ 189 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-10y=-180$$

หารทั้งสองข้างด้วย -10

$$y=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ y ใน x=-y+27 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-18+27$$

เพิ่ม 27 ไปยัง -18

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=18$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=27,7x-3y=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-7}&-\frac{1}{-3-7}\\-\frac{7}{-3-7}&\frac{1}{-3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{7}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 27+\frac{1}{10}\times 9\\\frac{7}{10}\times 27-\frac{1}{10}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\18\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=18$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=27,7x-3y=9$$

เพื่อทำให้ x และ 7x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 7 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$7x+7y=7\times 27,7x-3y=9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$7x+7y=189,7x-3y=9$$

ลบ 7x-3y=9 จาก 7x+7y=189 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-7x+7y+3y=189-9$$

เพิ่ม 7x ไปยัง -7x ตัดพจน์ 7x และ -7x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$7y+3y=189-9$$

เพิ่ม 7y ไปยัง 3y

$$10y=189-9$$

เพิ่ม 189 ไปยัง -9

$$10y=180$$

หารทั้งสองข้างด้วย 10

$$y=18$$

ทดแทน 18 สำหรับ y ใน 7x-3y=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$7x-3\times 18=9$$

คูณ -3 ด้วย 18

$$7x-54=9$$

เพิ่ม 54 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=63$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=18$$