แก้โจทย์ {l}{x+y=200}{2y-1=x}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 200 } \\ { 2 y - 1 = x } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=133$$

$$y=67$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-1-x=0$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2y-x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+y=200,-x+2y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+y=200$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-y+200$$

ทดแทน -y+200 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+2y=1

$$-\left(-y+200\right)+2y=1$$

คูณ -1 ด้วย -y+200

$$y-200+2y=1$$

เพิ่ม y ไปยัง 2y

$$3y-200=1$$

เพิ่ม 200 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3y=201$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=67$$

ทดแทน 67 สำหรับ y ใน x=-y+200 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-67+200$$

เพิ่ม 200 ไปยัง -67

$$x=133$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=133,y=67$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-1-x=0$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2y-x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+y=200,-x+2y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-1\right)}&-\frac{1}{2-\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-1\right)}&\frac{1}{2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}200\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 200-\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}\times 200+\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}133\\67\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=133,y=67$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$2y-1-x=0$$

เพิ่ม 1 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$2y-x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+y=200,-x+2y=1$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-y=-200,-x+2y=1$$

ลบ -x+2y=1 จาก -x-y=-200 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x-y-2y=-200-1$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-y-2y=-200-1$$

เพิ่ม -y ไปยัง -2y

$$-3y=-200-1$$

เพิ่ม -200 ไปยัง -1

$$-3y=-201$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=67$$

ทดแทน 67 สำหรับ y ใน -x+2y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+2\times 67=1$$

คูณ 2 ด้วย 67

$$-x+134=1$$

ลบ 134 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-133$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=133$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=133,y=67$$