แก้โจทย์ {l}{x+2y=0}{5x+7y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 0 } \\ { 5 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+2y=0$$

ลบ 2y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-2y$$

ทดแทน -2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x+7y=3

$$5\left(-2\right)y+7y=3$$

คูณ 5 ด้วย -2y

$$-10y+7y=3$$

เพิ่ม -10y ไปยัง 7y

$$-3y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=-2y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2\left(-1\right)$$

คูณ -2 ด้วย -1

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\5&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-2\times 5}&-\frac{2}{7-2\times 5}\\-\frac{5}{7-2\times 5}&\frac{1}{7-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{5}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 3\\-\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=2,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+2y=0,5x+7y=3$$

เพื่อทำให้ x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$5x+5\times 2y=0,5x+7y=3$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5x+10y=0,5x+7y=3$$

ลบ 5x+7y=3 จาก 5x+10y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-5x+10y-7y=-3$$

เพิ่ม 5x ไปยัง -5x ตัดพจน์ 5x และ -5x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-7y=-3$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -7y

$$3y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน 5x+7y=3 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x+7\left(-1\right)=3$$

คูณ 7 ด้วย -1

$$5x-7=3$$

เพิ่ม 7 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=2,y=-1$$