แก้โจทย์ {l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$ty+2-x=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$ty-x=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

หาค่า ty-x=-2 สำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$ty-x=-2$$

ลบ -x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$ty=x-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย t

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

ทดแทน \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง x^{2}+4y^{2}=4

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

ยกกำลังสอง \frac{1}{t}x-\frac{2}{t}

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

คูณ 4 ด้วย \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

เพิ่ม x^{2} ไปยัง 4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2} แทน a, 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) แทน b และ \frac{16}{t^{2}}-4 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

ยกกำลังสอง 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right)

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

คูณ -4 ด้วย 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

คูณ -4-\frac{16}{t^{2}} ด้วย \frac{16}{t^{2}}-4

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

เพิ่ม \frac{256}{t^{4}} ไปยัง -\frac{256}{t^{4}}+16

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

หารากที่สองของ 16

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

คูณ 2 ด้วย 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม \frac{16}{t^{2}} ไปยัง 4

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

หาร 4+\frac{16}{t^{2}} ด้วย 2+\frac{8}{t^{2}}

$$x=2$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 4 จาก \frac{16}{t^{2}}

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

หาร \frac{16}{t^{2}}-4 ด้วย 2+\frac{8}{t^{2}}

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ x:2 และ -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} ทดแทน 2 สำหรับ x ในสมการ y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

คูณ \frac{1}{t} ด้วย 2

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

แทนค่า -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

คูณ \frac{1}{t} ด้วย -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$