แก้โจทย์ {l}{a+2b=5}{4a+b=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { a + 2 b = 5 } \\ { 4 a + b = 6 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=1$$

$$b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$a+2b=5,4a+b=6$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$a+2b=5$$

ลบ 2b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$a=-2b+5$$

ทดแทน -2b+5 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง 4a+b=6

$$4\left(-2b+5\right)+b=6$$

คูณ 4 ด้วย -2b+5

$$-8b+20+b=6$$

เพิ่ม -8b ไปยัง b

$$-7b+20=6$$

ลบ 20 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-7b=-14$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a=-2b+5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-2\times 2+5$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$a=-4+5$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -4

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$a+2b=5,4a+b=6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\times 4}&-\frac{2}{1-2\times 4}\\-\frac{4}{1-2\times 4}&\frac{1}{1-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\\frac{4}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 5+\frac{2}{7}\times 6\\\frac{4}{7}\times 5-\frac{1}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=1,b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$a+2b=5,4a+b=6$$

เพื่อทำให้ a และ 4a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$4a+4\times 2b=4\times 5,4a+b=6$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$4a+8b=20,4a+b=6$$

ลบ 4a+b=6 จาก 4a+8b=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4a-4a+8b-b=20-6$$

เพิ่ม 4a ไปยัง -4a ตัดพจน์ 4a และ -4a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$8b-b=20-6$$

เพิ่ม 8b ไปยัง -b

$$7b=20-6$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -6

$$7b=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน 4a+b=6 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$4a+2=6$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4a=4$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$a=1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=1,b=2$$