แก้โจทย์ {l}{78x+40y=1280}{120x+8y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 78 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 8 y = 2800 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{2120}{87} = 24\frac{32}{87} \approx 24.367816092$$

$$y = -\frac{450}{29} = -15\frac{15}{29} \approx -15.517241379$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$78x+40y=1280$$

ลบ 40y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$78x=-40y+1280$$

หารทั้งสองข้างด้วย 78

$$x=\frac{1}{78}\left(-40y+1280\right)$$

คูณ \frac{1}{78} ด้วย -40y+1280

$$x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}$$

ทดแทน \frac{-20y+640}{39} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 120x+8y=2800

$$120\left(-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39}\right)+8y=2800$$

คูณ 120 ด้วย \frac{-20y+640}{39}

$$-\frac{800}{13}y+\frac{25600}{13}+8y=2800$$

เพิ่ม -\frac{800y}{13} ไปยัง 8y

$$-\frac{696}{13}y+\frac{25600}{13}=2800$$

ลบ \frac{25600}{13} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{696}{13}y=\frac{10800}{13}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{696}{13} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{450}{29}$$

ทดแทน -\frac{450}{29} สำหรับ y ใน x=-\frac{20}{39}y+\frac{640}{39} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{20}{39}\left(-\frac{450}{29}\right)+\frac{640}{39}$$

คูณ -\frac{20}{39} ครั้ง -\frac{450}{29} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3000}{377}+\frac{640}{39}$$

เพิ่ม \frac{640}{39} ไปยัง \frac{3000}{377} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{2120}{87}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}78&40\\120&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{78\times 8-40\times 120}&-\frac{40}{78\times 8-40\times 120}\\-\frac{120}{78\times 8-40\times 120}&\frac{78}{78\times 8-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}&\frac{5}{522}\\\frac{5}{174}&-\frac{13}{696}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{522}\times 1280+\frac{5}{522}\times 2800\\\frac{5}{174}\times 1280-\frac{13}{696}\times 2800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2120}{87}\\-\frac{450}{29}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$78x+40y=1280,120x+8y=2800$$

เพื่อทำให้ 78x และ 120x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 120 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 78

$$120\times 78x+120\times 40y=120\times 1280,78\times 120x+78\times 8y=78\times 2800$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$9360x+4800y=153600,9360x+624y=218400$$

ลบ 9360x+624y=218400 จาก 9360x+4800y=153600 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$9360x-9360x+4800y-624y=153600-218400$$

เพิ่ม 9360x ไปยัง -9360x ตัดพจน์ 9360x และ -9360x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4800y-624y=153600-218400$$

เพิ่ม 4800y ไปยัง -624y

$$4176y=153600-218400$$

เพิ่ม 153600 ไปยัง -218400

$$4176y=-64800$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4176

$$y=-\frac{450}{29}$$

ทดแทน -\frac{450}{29} สำหรับ y ใน 120x+8y=2800 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$120x+8\left(-\frac{450}{29}\right)=2800$$

คูณ 8 ด้วย -\frac{450}{29}

$$120x-\frac{3600}{29}=2800$$

เพิ่ม \frac{3600}{29} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$120x=\frac{84800}{29}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$x=\frac{2120}{87}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{2120}{87},y=-\frac{450}{29}$$