แก้โจทย์ {l}{7P=B-39}{B-11P=9}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 P = B - 39 } \\ { B - 11 P = 9 } \end{array} \right.$$

หาค่า P, B

$$P = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

$$B = \frac{183}{2} = 91\frac{1}{2} = 91.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ B จากทั้งสองด้าน

$$7P-B=-39$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ P โดยแยก P ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7P-B=-39$$

เพิ่ม B ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7P=B-39$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$P=\frac{1}{7}\left(B-39\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย B-39

$$P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}$$

ทดแทน \frac{-39+B}{7} สำหรับ P ในอีกสมการหนึ่ง -11P+B=9

$$-11\left(\frac{1}{7}B-\frac{39}{7}\right)+B=9$$

คูณ -11 ด้วย \frac{-39+B}{7}

$$-\frac{11}{7}B+\frac{429}{7}+B=9$$

เพิ่ม -\frac{11B}{7} ไปยัง B

$$-\frac{4}{7}B+\frac{429}{7}=9$$

ลบ \frac{429}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{4}{7}B=-\frac{366}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{4}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$B=\frac{183}{2}$$

ทดแทน \frac{183}{2} สำหรับ B ใน P=\frac{1}{7}B-\frac{39}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า P โดยตรงได้

$$P=\frac{1}{7}\times \frac{183}{2}-\frac{39}{7}$$

คูณ \frac{1}{7} ครั้ง \frac{183}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$P=\frac{183}{14}-\frac{39}{7}$$

เพิ่ม -\frac{39}{7} ไปยัง \frac{183}{14} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$P=\frac{15}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ B จากทั้งสองด้าน

$$7P-B=-39$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\-11&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\\-\frac{-11}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}&\frac{7}{7-\left(-\left(-11\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&-\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-39\\9\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-39\right)-\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{11}{4}\left(-39\right)-\frac{7}{4}\times 9\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}P\\B\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{2}\\\frac{183}{2}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ P และ B

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ B จากทั้งสองด้าน

$$7P-B=-39$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7P-B=-39,-11P+B=9$$

เพื่อทำให้ 7P และ -11P เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -11 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$-11\times 7P-11\left(-1\right)B=-11\left(-39\right),7\left(-11\right)P+7B=7\times 9$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-77P+11B=429,-77P+7B=63$$

ลบ -77P+7B=63 จาก -77P+11B=429 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-77P+77P+11B-7B=429-63$$

เพิ่ม -77P ไปยัง 77P ตัดพจน์ -77P และ 77P ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$11B-7B=429-63$$

เพิ่ม 11B ไปยัง -7B

$$4B=429-63$$

เพิ่ม 429 ไปยัง -63

$$4B=366$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$B=\frac{183}{2}$$

ทดแทน \frac{183}{2} สำหรับ B ใน -11P+B=9 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า P โดยตรงได้

$$-11P+\frac{183}{2}=9$$

ลบ \frac{183}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11P=-\frac{165}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$P=\frac{15}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$P=\frac{15}{2},B=\frac{183}{2}$$