แก้โจทย์ {l}{50x-y=-50}{35x-y=-70}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 50 x - y = - 50 } \\ { 35 x - y = - 70 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{350}{3} = 116\frac{2}{3} \approx 116.666666667$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-y=-50$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$50x=y-50$$

หารทั้งสองข้างด้วย 50

$$x=\frac{1}{50}\left(y-50\right)$$

คูณ \frac{1}{50} ด้วย y-50

$$x=\frac{1}{50}y-1$$

ทดแทน \frac{y}{50}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 35x-y=-70

$$35\left(\frac{1}{50}y-1\right)-y=-70$$

คูณ 35 ด้วย \frac{y}{50}-1

$$\frac{7}{10}y-35-y=-70$$

เพิ่ม \frac{7y}{10} ไปยัง -y

$$-\frac{3}{10}y-35=-70$$

เพิ่ม 35 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{3}{10}y=-35$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{3}{10} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{350}{3}$$

ทดแทน \frac{350}{3} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{50}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{50}\times \frac{350}{3}-1$$

คูณ \frac{1}{50} ครั้ง \frac{350}{3} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{7}{3}-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง \frac{7}{3}

$$x=\frac{4}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&-1\\35&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&-\frac{-1}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\\-\frac{35}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}&\frac{50}{50\left(-1\right)-\left(-35\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&-\frac{1}{15}\\\frac{7}{3}&-\frac{10}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-50\\-70\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\left(-50\right)-\frac{1}{15}\left(-70\right)\\\frac{7}{3}\left(-50\right)-\frac{10}{3}\left(-70\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{350}{3}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$50x-y=-50,35x-y=-70$$

ลบ 35x-y=-70 จาก 50x-y=-50 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$50x-35x-y+y=-50+70$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$50x-35x=-50+70$$

เพิ่ม 50x ไปยัง -35x

$$15x=-50+70$$

เพิ่ม -50 ไปยัง 70

$$15x=20$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$x=\frac{4}{3}$$

ทดแทน \frac{4}{3} สำหรับ x ใน 35x-y=-70 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$35\times \frac{4}{3}-y=-70$$

คูณ 35 ด้วย \frac{4}{3}

$$\frac{140}{3}-y=-70$$

ลบ \frac{140}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-\frac{350}{3}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=\frac{350}{3}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{350}{3}$$