แก้โจทย์ {l}{5x-3y=13}{-9x-2y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 13 } \\ { - 9 x - 2 y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{32}{37}\approx 0.864864865$$

$$y = -\frac{107}{37} = -2\frac{33}{37} \approx -2.891891892$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x-3y=13$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=3y+13$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+13\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย 3y+13

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}$$

ทดแทน \frac{3y+13}{5} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -9x-2y=-2

$$-9\left(\frac{3}{5}y+\frac{13}{5}\right)-2y=-2$$

คูณ -9 ด้วย \frac{3y+13}{5}

$$-\frac{27}{5}y-\frac{117}{5}-2y=-2$$

เพิ่ม -\frac{27y}{5} ไปยัง -2y

$$-\frac{37}{5}y-\frac{117}{5}=-2$$

เพิ่ม \frac{117}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{37}{5}y=\frac{107}{5}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{37}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{107}{37}$$

ทดแทน -\frac{107}{37} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{5}y+\frac{13}{5} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{107}{37}\right)+\frac{13}{5}$$

คูณ \frac{3}{5} ครั้ง -\frac{107}{37} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{321}{185}+\frac{13}{5}$$

เพิ่ม \frac{13}{5} ไปยัง -\frac{321}{185} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{32}{37}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}&-\frac{3}{37}\\-\frac{9}{37}&-\frac{5}{37}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{37}\times 13-\frac{3}{37}\left(-2\right)\\-\frac{9}{37}\times 13-\frac{5}{37}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{32}{37}\\-\frac{107}{37}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x-3y=13,-9x-2y=-2$$

เพื่อทำให้ 5x และ -9x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -9 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-9\times 5x-9\left(-3\right)y=-9\times 13,5\left(-9\right)x+5\left(-2\right)y=5\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-45x+27y=-117,-45x-10y=-10$$

ลบ -45x-10y=-10 จาก -45x+27y=-117 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-45x+45x+27y+10y=-117+10$$

เพิ่ม -45x ไปยัง 45x ตัดพจน์ -45x และ 45x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$27y+10y=-117+10$$

เพิ่ม 27y ไปยัง 10y

$$37y=-117+10$$

เพิ่ม -117 ไปยัง 10

$$37y=-107$$

หารทั้งสองข้างด้วย 37

$$y=-\frac{107}{37}$$

ทดแทน -\frac{107}{37} สำหรับ y ใน -9x-2y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-9x-2\left(-\frac{107}{37}\right)=-2$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{107}{37}

$$-9x+\frac{214}{37}=-2$$

ลบ \frac{214}{37} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-9x=-\frac{288}{37}$$

หารทั้งสองข้างด้วย -9

$$x=\frac{32}{37}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{32}{37},y=-\frac{107}{37}$$