แก้โจทย์ {l}{5x+7y=2060}{1020=2060-(2x+4y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 2060 } \\ { 1020 = 2060 - ( 2 x + 4 y ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=160$$

$$y=180$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 2x+4y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$1020=2060-2x-4y$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2060-2x-4y=1020$$

ลบ 2060 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=1020-2060$$

ลบ 2060 จาก 1020 เพื่อรับ -1040

$$-2x-4y=-1040$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5x+7y=2060$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-7y+2060$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+2060\right)$$

คูณ \frac{1}{5} ด้วย -7y+2060

$$x=-\frac{7}{5}y+412$$

ทดแทน -\frac{7y}{5}+412 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -2x-4y=-1040

$$-2\left(-\frac{7}{5}y+412\right)-4y=-1040$$

คูณ -2 ด้วย -\frac{7y}{5}+412

$$\frac{14}{5}y-824-4y=-1040$$

เพิ่ม \frac{14y}{5} ไปยัง -4y

$$-\frac{6}{5}y-824=-1040$$

เพิ่ม 824 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{6}{5}y=-216$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{6}{5} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=180$$

ทดแทน 180 สำหรับ y ใน x=-\frac{7}{5}y+412 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{7}{5}\times 180+412$$

คูณ -\frac{7}{5} ด้วย 180

$$x=-252+412$$

เพิ่ม 412 ไปยัง -252

$$x=160$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=160,y=180$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 2x+4y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$1020=2060-2x-4y$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2060-2x-4y=1020$$

ลบ 2060 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=1020-2060$$

ลบ 2060 จาก 1020 เพื่อรับ -1040

$$-2x-4y=-1040$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\-2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&-\frac{7}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-7\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{6}\\-\frac{1}{3}&-\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2060\\-1040\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 2060+\frac{7}{6}\left(-1040\right)\\-\frac{1}{3}\times 2060-\frac{5}{6}\left(-1040\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}160\\180\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=160,y=180$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ 2x+4y ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$1020=2060-2x-4y$$

สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$2060-2x-4y=1020$$

ลบ 2060 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=1020-2060$$

ลบ 2060 จาก 1020 เพื่อรับ -1040

$$-2x-4y=-1040$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$5x+7y=2060,-2x-4y=-1040$$

เพื่อทำให้ 5x และ -2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 5

$$-2\times 5x-2\times 7y=-2\times 2060,5\left(-2\right)x+5\left(-4\right)y=5\left(-1040\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-10x-14y=-4120,-10x-20y=-5200$$

ลบ -10x-20y=-5200 จาก -10x-14y=-4120 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-10x+10x-14y+20y=-4120+5200$$

เพิ่ม -10x ไปยัง 10x ตัดพจน์ -10x และ 10x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-14y+20y=-4120+5200$$

เพิ่ม -14y ไปยัง 20y

$$6y=-4120+5200$$

เพิ่ม -4120 ไปยัง 5200

$$6y=1080$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$y=180$$

ทดแทน 180 สำหรับ y ใน -2x-4y=-1040 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-2x-4\times 180=-1040$$

คูณ -4 ด้วย 180

$$-2x-720=-1040$$

เพิ่ม 720 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=-320$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=160$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=160,y=180$$