แก้โจทย์ {l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=10$$

$$y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$48x+40y=1280$$

ลบ 40y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$48x=-40y+1280$$

หารทั้งสองข้างด้วย 48

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

คูณ \frac{1}{48} ด้วย -40y+1280

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

ทดแทน -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 120x+80y=2800

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

คูณ 120 ด้วย -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}

$$-100y+3200+80y=2800$$

เพิ่ม -100y ไปยัง 80y

$$-20y+3200=2800$$

ลบ 3200 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-20y=-400$$

หารทั้งสองข้างด้วย -20

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

คูณ -\frac{5}{6} ด้วย 20

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

เพิ่ม \frac{80}{3} ไปยัง -\frac{50}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=20$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=10,y=20$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

เพื่อทำให้ 48x และ 120x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 120 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 48

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

ลบ 5760x+3840y=134400 จาก 5760x+4800y=153600 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

เพิ่ม 5760x ไปยัง -5760x ตัดพจน์ 5760x และ -5760x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4800y-3840y=153600-134400$$

เพิ่ม 4800y ไปยัง -3840y

$$960y=153600-134400$$

เพิ่ม 153600 ไปยัง -134400

$$960y=19200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 960

$$y=20$$

ทดแทน 20 สำหรับ y ใน 120x+80y=2800 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$120x+80\times 20=2800$$

คูณ 80 ด้วย 20

$$120x+1600=2800$$

ลบ 1600 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$120x=1200$$

หารทั้งสองข้างด้วย 120

$$x=10$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=10,y=20$$