แก้โจทย์ {l}{44k+b=72}{48k+b=64}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 k + b = 72 } \\ { 48 k + b = 64 } \end{array} \right.$$

หาค่า k, b

$$k=-2$$

$$b=160$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$44k+b=72,48k+b=64$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ k โดยแยก k ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$44k+b=72$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$44k=-b+72$$

หารทั้งสองข้างด้วย 44

$$k=\frac{1}{44}\left(-b+72\right)$$

คูณ \frac{1}{44} ด้วย -b+72

$$k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}$$

ทดแทน -\frac{b}{44}+\frac{18}{11} สำหรับ k ในอีกสมการหนึ่ง 48k+b=64

$$48\left(-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11}\right)+b=64$$

คูณ 48 ด้วย -\frac{b}{44}+\frac{18}{11}

$$-\frac{12}{11}b+\frac{864}{11}+b=64$$

เพิ่ม -\frac{12b}{11} ไปยัง b

$$-\frac{1}{11}b+\frac{864}{11}=64$$

ลบ \frac{864}{11} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{11}b=-\frac{160}{11}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -11

$$b=160$$

ทดแทน 160 สำหรับ b ใน k=-\frac{1}{44}b+\frac{18}{11} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า k โดยตรงได้

$$k=-\frac{1}{44}\times 160+\frac{18}{11}$$

คูณ -\frac{1}{44} ด้วย 160

$$k=\frac{-40+18}{11}$$

เพิ่ม \frac{18}{11} ไปยัง -\frac{40}{11} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=-2,b=160$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$44k+b=72,48k+b=64$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}44&1\\48&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{44-48}&-\frac{1}{44-48}\\-\frac{48}{44-48}&\frac{44}{44-48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\12&-11\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}72\\64\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 72+\frac{1}{4}\times 64\\12\times 72-11\times 64\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\160\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ k และ b

$$k=-2,b=160$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$44k+b=72,48k+b=64$$

ลบ 48k+b=64 จาก 44k+b=72 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$44k-48k+b-b=72-64$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$44k-48k=72-64$$

เพิ่ม 44k ไปยัง -48k

$$-4k=72-64$$

เพิ่ม 72 ไปยัง -64

$$-4k=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -4

$$k=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ k ใน 48k+b=64 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$48\left(-2\right)+b=64$$

คูณ 48 ด้วย -2

$$-96+b=64$$

เพิ่ม 96 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$b=160$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=-2,b=160$$