แก้โจทย์ {l}{44=112k+b}{16=82k+b}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 44 = 112 k + b } \\ { 16 = 82 k + b } \end{array} \right.$$

หาค่า k, b

$$k=\frac{14}{15}\approx 0.933333333$$

$$b = -\frac{908}{15} = -60\frac{8}{15} \approx -60.533333333$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$112k+b=44$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$82k+b=16$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$112k+b=44,82k+b=16$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ k โดยแยก k ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$112k+b=44$$

ลบ b จากทั้งสองข้างของสมการ

$$112k=-b+44$$

หารทั้งสองข้างด้วย 112

$$k=\frac{1}{112}\left(-b+44\right)$$

คูณ \frac{1}{112} ด้วย -b+44

$$k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}$$

ทดแทน -\frac{b}{112}+\frac{11}{28} สำหรับ k ในอีกสมการหนึ่ง 82k+b=16

$$82\left(-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28}\right)+b=16$$

คูณ 82 ด้วย -\frac{b}{112}+\frac{11}{28}

$$-\frac{41}{56}b+\frac{451}{14}+b=16$$

เพิ่ม -\frac{41b}{56} ไปยัง b

$$\frac{15}{56}b+\frac{451}{14}=16$$

ลบ \frac{451}{14} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{15}{56}b=-\frac{227}{14}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{15}{56} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=-\frac{908}{15}$$

ทดแทน -\frac{908}{15} สำหรับ b ใน k=-\frac{1}{112}b+\frac{11}{28} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า k โดยตรงได้

$$k=-\frac{1}{112}\left(-\frac{908}{15}\right)+\frac{11}{28}$$

คูณ -\frac{1}{112} ครั้ง -\frac{908}{15} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$k=\frac{227}{420}+\frac{11}{28}$$

เพิ่ม \frac{11}{28} ไปยัง \frac{227}{420} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$k=\frac{14}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$112k+b=44$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$82k+b=16$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$112k+b=44,82k+b=16$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}112&1\\82&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{112-82}&-\frac{1}{112-82}\\-\frac{82}{112-82}&\frac{112}{112-82}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{30}\\-\frac{41}{15}&\frac{56}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\16\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 44-\frac{1}{30}\times 16\\-\frac{41}{15}\times 44+\frac{56}{15}\times 16\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{15}\\-\frac{908}{15}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ k และ b

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$112k+b=44$$

พิจารณาสมการที่สอง สลับข้างเพื่อให้พจน์ตัวแปรทั้งหมดอยู่ทางด้านซ้าย

$$82k+b=16$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$112k+b=44,82k+b=16$$

ลบ 82k+b=16 จาก 112k+b=44 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$112k-82k+b-b=44-16$$

เพิ่ม b ไปยัง -b ตัดพจน์ b และ -b ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$112k-82k=44-16$$

เพิ่ม 112k ไปยัง -82k

$$30k=44-16$$

เพิ่ม 44 ไปยัง -16

$$30k=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย 30

$$k=\frac{14}{15}$$

ทดแทน \frac{14}{15} สำหรับ k ใน 82k+b=16 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า b โดยตรงได้

$$82\times \frac{14}{15}+b=16$$

คูณ 82 ด้วย \frac{14}{15}

$$\frac{1148}{15}+b=16$$

ลบ \frac{1148}{15} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$b=-\frac{908}{15}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$k=\frac{14}{15},b=-\frac{908}{15}$$