แก้โจทย์ {l}{4x-2y-6=0}{4(8+x)+2(20y)-26=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y - 6 = 0 } \\ { 4 ( 8 + x ) + 2 ( 20 y ) - 26 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{19}{14} = 1\frac{5}{14} \approx 1.357142857$$

$$y=-\frac{2}{7}\approx -0.285714286$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-2y-6=0$$

เพิ่ม 6 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x-2y=6$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=2y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย 6+2y

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{3+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4\left(x+8\right)+40y-26=0

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{3}{2}+8\right)+40y-26=0$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง 8

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{19}{2}\right)+40y-26=0$$

คูณ 4 ด้วย \frac{19+y}{2}

$$2y+38+40y-26=0$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 40y

$$42y+38-26=0$$

เพิ่ม 38 ไปยัง -26

$$42y+12=0$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$42y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 42

$$y=-\frac{2}{7}$$

ทดแทน -\frac{2}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\left(-\frac{2}{7}\right)+\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง -\frac{2}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{7}+\frac{3}{2}$$

เพิ่ม \frac{3}{2} ไปยัง -\frac{1}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{19}{14}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-2y-6=0,4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$4\left(x+8\right)+40y-26=0$$

คูณ 4 ด้วย x+8

$$4x+32+40y-26=0$$

เพิ่ม 32 ไปยัง -26

$$4x+40y+6=0$$

ลบ 6 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x+40y=-6$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\4&40\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}&\frac{4}{4\times 40-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&\frac{1}{84}\\-\frac{1}{42}&\frac{1}{42}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\-6\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\times 6+\frac{1}{84}\left(-6\right)\\-\frac{1}{42}\times 6+\frac{1}{42}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{14}\\-\frac{2}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{19}{14},y=-\frac{2}{7}$$