แก้โจทย์ {l}{4x=y-0.5}{5(x-0.5)=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x = y - 0.5 } \\ { 5 ( x - 0.5 ) = y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=12.5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-y=-0.5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x-0.5

$$5x-2.5=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-2.5-y=0$$

เพิ่ม 2.5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$5x-y=2.5$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-y=-0.5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=y-0.5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{1}{4}\left(y-0.5\right)$$

คูณ \frac{1}{4} ด้วย y-0.5

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

ทดแทน \frac{y}{4}-\frac{1}{8} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-y=2.5

$$5\left(\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)-y=2.5$$

คูณ 5 ด้วย \frac{y}{4}-\frac{1}{8}

$$\frac{5}{4}y-\frac{5}{8}-y=2.5$$

เพิ่ม \frac{5y}{4} ไปยัง -y

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{8}=2.5$$

เพิ่ม \frac{5}{8} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{4}y=\frac{25}{8}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 4

$$y=\frac{25}{2}$$

ทดแทน \frac{25}{2} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{4}y-\frac{1}{8} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{25}{2}-\frac{1}{8}$$

คูณ \frac{1}{4} ครั้ง \frac{25}{2} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{25-1}{8}$$

เพิ่ม -\frac{1}{8} ไปยัง \frac{25}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=\frac{25}{2}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-y=-0.5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x-0.5

$$5x-2.5=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-2.5-y=0$$

เพิ่ม 2.5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$5x-y=2.5$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-1}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{5}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-5&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-0.5\\2.5\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-0.5\right)+2.5\\-5\left(-0.5\right)+4\times 2.5\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12.5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=12.5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$4x-y=-0.5$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 5 ด้วย x-0.5

$$5x-2.5=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$5x-2.5-y=0$$

เพิ่ม 2.5 ไปทั้งสองด้าน สิ่งใดบวกกับศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเอง

$$5x-y=2.5$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$4x-y=-0.5,5x-y=2.5$$

ลบ 5x-y=2.5 จาก 4x-y=-0.5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$4x-5x-y+y=\frac{-1-5}{2}$$

เพิ่ม -y ไปยัง y ตัดพจน์ -y และ y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$4x-5x=\frac{-1-5}{2}$$

เพิ่ม 4x ไปยัง -5x

$$-x=\frac{-1-5}{2}$$

เพิ่ม -0.5 ไปยัง -2.5 ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$-x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=3$$

ทดแทน 3 สำหรับ x ใน 5x-y=2.5 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$5\times 3-y=2.5$$

คูณ 5 ด้วย 3

$$15-y=2.5$$

ลบ 15 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-y=-12.5$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=12.5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=12.5$$