แก้โจทย์ {l}{4(x+y)-3(x-y)=10}{2(x+y)-3(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 10 } \\ { 2 ( x + y ) - 3 ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$4x+4y-3x+3y=10$$

รวม 4x และ -3x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+4y+3y=10$$

รวม 4y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$x+7y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$2x+2y-3x+3y=2$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y+3y=2$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+7y=10$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-7y+10$$

ทดแทน -7y+10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+5y=2

$$-\left(-7y+10\right)+5y=2$$

คูณ -1 ด้วย -7y+10

$$7y-10+5y=2$$

เพิ่ม 7y ไปยัง 5y

$$12y-10=2$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$12y=12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 12

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-7y+10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-7+10$$

เพิ่ม 10 ไปยัง -7

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$4x+4y-3x+3y=10$$

รวม 4x และ -3x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+4y+3y=10$$

รวม 4y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$x+7y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$2x+2y-3x+3y=2$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y+3y=2$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&7\\-1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{5-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{5-7\left(-1\right)}&\frac{1}{5-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}&-\frac{7}{12}\\\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{12}\times 10-\frac{7}{12}\times 2\\\frac{1}{12}\times 10+\frac{1}{12}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=3,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย x+y

$$4x+4y-3\left(x-y\right)=10$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$4x+4y-3x+3y=10$$

รวม 4x และ -3x เพื่อให้ได้รับ x

$$x+4y+3y=10$$

รวม 4y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$x+7y=10$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+y

$$2x+2y-3\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย x-y

$$2x+2y-3x+3y=2$$

รวม 2x และ -3x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+2y+3y=2$$

รวม 2y และ 3y เพื่อให้ได้รับ 5y

$$-x+5y=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x+7y=10,-x+5y=2$$

เพื่อทำให้ x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-x-7y=-10,-x+5y=2$$

ลบ -x+5y=2 จาก -x-7y=-10 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+x-7y-5y=-10-2$$

เพิ่ม -x ไปยัง x ตัดพจน์ -x และ x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-7y-5y=-10-2$$

เพิ่ม -7y ไปยัง -5y

$$-12y=-10-2$$

เพิ่ม -10 ไปยัง -2

$$-12y=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย -12

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน -x+5y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+5=2$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=3,y=1$$