แก้โจทย์ {l}{3x+5y=-3}{2x+3y=-1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 5 y = - 3 } \\ { 2 x + 3 y = - 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=-3$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-3\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y-3

$$x=-\frac{5}{3}y-1$$

ทดแทน -\frac{5y}{3}-1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=-1

$$2\left(-\frac{5}{3}y-1\right)+3y=-1$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{5y}{3}-1

$$-\frac{10}{3}y-2+3y=-1$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง 3y

$$-\frac{1}{3}y-2=-1$$

เพิ่ม 2 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-1$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -3

$$x=5-1$$

เพิ่ม -1 ไปยัง 5

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-3\right)+5\left(-1\right)\\2\left(-3\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=-3,2x+3y=-1$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-3\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+10y=-6,6x+9y=-3$$

ลบ 6x+9y=-3 จาก 6x+10y=-6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+10y-9y=-6+3$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-9y=-6+3$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -9y

$$y=-6+3$$

เพิ่ม -6 ไปยัง 3

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 2x+3y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\left(-3\right)=-1$$

คูณ 3 ด้วย -3

$$2x-9=-1$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=8$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-3$$