แก้โจทย์ {l}{3x+2=4y}{x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 x + 2 = 4 y } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{38}{7} = 5\frac{3}{7} \approx 5.428571429$$

$$y = \frac{32}{7} = 4\frac{4}{7} \approx 4.571428571$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$3x+2-4y=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-4y=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-4y=-2$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=4y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(4y-2\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 4y-2

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}$$

ทดแทน \frac{4y-2}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x+y=10

$$\frac{4}{3}y-\frac{2}{3}+y=10$$

เพิ่ม \frac{4y}{3} ไปยัง y

$$\frac{7}{3}y-\frac{2}{3}=10$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{3}y=\frac{32}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=\frac{32}{7}$$

ทดแทน \frac{32}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{4}{3}y-\frac{2}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{4}{3}\times \frac{32}{7}-\frac{2}{3}$$

คูณ \frac{4}{3} ครั้ง \frac{32}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{128}{21}-\frac{2}{3}$$

เพิ่ม -\frac{2}{3} ไปยัง \frac{128}{21} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{38}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$3x+2-4y=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-4y=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{3-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-4\right)}&\frac{3}{3-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{4}{7}\times 10\\-\frac{1}{7}\left(-2\right)+\frac{3}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{38}{7}\\\frac{32}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 4y จากทั้งสองด้าน

$$3x+2-4y=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$3x-4y=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-4y=-2,x+y=10$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x-4y=-2,3x+3y=3\times 10$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x-4y=-2,3x+3y=30$$

ลบ 3x+3y=30 จาก 3x-4y=-2 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-4y-3y=-2-30$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-3y=-2-30$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -3y

$$-7y=-2-30$$

เพิ่ม -2 ไปยัง -30

$$-7y=-32$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$y=\frac{32}{7}$$

ทดแทน \frac{32}{7} สำหรับ y ใน x+y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x+\frac{32}{7}=10$$

ลบ \frac{32}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=\frac{38}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{38}{7},y=\frac{32}{7}$$