แก้โจทย์ {l}{3(x+y)-4(x-y)=-18}{1/2(x+y)+1/6(x-y)=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( x + y ) - 4 ( x - y ) = - 18 } \\ { \frac { 1 } { 2 } ( x + y ) + \frac { 1 } { 6 } ( x - y ) = 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=4$$

$$y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -4 ด้วย x-y

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

รวม 3x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+3y+4y=-18$$

รวม 3y และ 4y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$-x+7y=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{2} ด้วย x+y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{6} ด้วย x-y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}x และ \frac{1}{6}x เพื่อให้ได้รับ \frac{2}{3}x

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}y และ -\frac{1}{6}y เพื่อให้ได้รับ \frac{1}{3}y

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-x+7y=-18$$

ลบ 7y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-7y-18$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=-\left(-7y-18\right)$$

คูณ -1 ด้วย -7y-18

$$x=7y+18$$

ทดแทน 7y+18 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2

$$\frac{2}{3}\left(7y+18\right)+\frac{1}{3}y=2$$

คูณ \frac{2}{3} ด้วย 7y+18

$$\frac{14}{3}y+12+\frac{1}{3}y=2$$

เพิ่ม \frac{14y}{3} ไปยัง \frac{y}{3}

$$5y+12=2$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน x=7y+18 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=7\left(-2\right)+18$$

คูณ 7 ด้วย -2

$$x=-14+18$$

เพิ่ม 18 ไปยัง -14

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -4 ด้วย x-y

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

รวม 3x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+3y+4y=-18$$

รวม 3y และ 4y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$-x+7y=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{2} ด้วย x+y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{6} ด้วย x-y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}x และ \frac{1}{6}x เพื่อให้ได้รับ \frac{2}{3}x

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}y และ -\frac{1}{6}y เพื่อให้ได้รับ \frac{1}{3}y

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&7\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{7}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\\-\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}&-\frac{1}{-\frac{1}{3}-7\times \frac{2}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{7}{5}\\\frac{2}{15}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{7}{5}\times 2\\\frac{2}{15}\left(-18\right)+\frac{1}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=4,y=-2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x+y

$$3x+3y-4\left(x-y\right)=-18$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -4 ด้วย x-y

$$3x+3y-4x+4y=-18$$

รวม 3x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -x

$$-x+3y+4y=-18$$

รวม 3y และ 4y เพื่อให้ได้รับ 7y

$$-x+7y=-18$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{2} ด้วย x+y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}\left(x-y\right)=2$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ \frac{1}{6} ด้วย x-y

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}x-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}x และ \frac{1}{6}x เพื่อให้ได้รับ \frac{2}{3}x

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{6}y=2$$

รวม \frac{1}{2}y และ -\frac{1}{6}y เพื่อให้ได้รับ \frac{1}{3}y

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-x+7y=-18,\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2$$

เพื่อทำให้ -x และ \frac{2x}{3} เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย \frac{2}{3} และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -1

$$\frac{2}{3}\left(-1\right)x+\frac{2}{3}\times 7y=\frac{2}{3}\left(-18\right),-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12,-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2$$

ลบ -\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}y=-2 จาก -\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y=-12 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}x+\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

เพิ่ม -\frac{2x}{3} ไปยัง \frac{2x}{3} ตัดพจน์ -\frac{2x}{3} และ \frac{2x}{3} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$\frac{14}{3}y+\frac{1}{3}y=-12+2$$

เพิ่ม \frac{14y}{3} ไปยัง \frac{y}{3}

$$5y=-12+2$$

เพิ่ม -12 ไปยัง 2

$$5y=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$y=-2$$

ทดแทน -2 สำหรับ y ใน \frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}\left(-2\right)=2$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -2

$$\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}=2$$

เพิ่ม \frac{2}{3} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{2}{3}x=\frac{8}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{2}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=4,y=-2$$