แก้โจทย์ {l}{3(2x+1)-5(y-3)=1}{5(1-x)-4(2y+1)=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 3 ( 2 x + 1 ) - 5 ( y - 3 ) = 1 } \\ { 5 ( 1 - x ) - 4 ( 2 y + 1 ) = 3 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

คูณ 3 ด้วย 2x+1

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

คูณ -5 ด้วย y-3

$$6x+3-5y+15=1$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 15

$$6x-5y+18=1$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x-5y=-17$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$6x=5y-17$$

หารทั้งสองข้างด้วย 6

$$x=\frac{1}{6}\left(5y-17\right)$$

คูณ \frac{1}{6} ด้วย 5y-17

$$x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}$$

ทดแทน \frac{5y-17}{6} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3

$$5\left(-\left(\frac{5}{6}y-\frac{17}{6}\right)+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

คูณ -1 ด้วย \frac{5y-17}{6}

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{17}{6}+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

เพิ่ม \frac{17}{6} ไปยัง 1

$$5\left(-\frac{5}{6}y+\frac{23}{6}\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

คูณ 5 ด้วย \frac{-5y+23}{6}

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-4\left(2y+1\right)=3$$

คูณ -4 ด้วย 2y+1

$$-\frac{25}{6}y+\frac{115}{6}-8y-4=3$$

เพิ่ม -\frac{25y}{6} ไปยัง -8y

$$-\frac{73}{6}y+\frac{115}{6}-4=3$$

เพิ่ม \frac{115}{6} ไปยัง -4

$$-\frac{73}{6}y+\frac{91}{6}=3$$

ลบ \frac{91}{6} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{73}{6}y=-\frac{73}{6}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{73}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=\frac{5}{6}y-\frac{17}{6} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5-17}{6}$$

เพิ่ม -\frac{17}{6} ไปยัง \frac{5}{6} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1,5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

ทำสมการแรกให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$3\left(2x+1\right)-5\left(y-3\right)=1$$

คูณ 3 ด้วย 2x+1

$$6x+3-5\left(y-3\right)=1$$

คูณ -5 ด้วย y-3

$$6x+3-5y+15=1$$

เพิ่ม 3 ไปยัง 15

$$6x-5y+18=1$$

ลบ 18 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$6x-5y=-17$$

ทำสมการที่สองให้เป็นรูปมาตรฐาน

$$5\left(-x+1\right)-4\left(2y+1\right)=3$$

คูณ 5 ด้วย -x+1

$$-5x+5-4\left(2y+1\right)=3$$

คูณ -4 ด้วย 2y+1

$$-5x+5-8y-4=3$$

เพิ่ม 5 ไปยัง -4

$$-5x-8y+1=3$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5x-8y=2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}&-\frac{5}{73}\\-\frac{5}{73}&-\frac{6}{73}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-17\\2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{73}\left(-17\right)-\frac{5}{73}\times 2\\-\frac{5}{73}\left(-17\right)-\frac{6}{73}\times 2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=1$$