แก้โจทย์ {l}{2x-y=5}{4x+6y=24}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { 4 x + 6 y = 24 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{27}{8} = 3\frac{3}{8} = 3.375$$

$$y = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4} = 1.75$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{5+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+6y=24

$$4\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+6y=24$$

คูณ 4 ด้วย \frac{5+y}{2}

$$2y+10+6y=24$$

เพิ่ม 2y ไปยัง 6y

$$8y+10=24$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$8y=14$$

หารทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=\frac{7}{4}$$

ทดแทน \frac{7}{4} สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{7}{4}+\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ครั้ง \frac{7}{4} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{7}{8}+\frac{5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง \frac{7}{8} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{27}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{2\times 6-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{2\times 6-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{2\times 6-\left(-4\right)}&\frac{2}{2\times 6-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\24\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\times 5+\frac{1}{16}\times 24\\-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{8}\times 24\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{27}{8}\\\frac{7}{4}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=5,4x+6y=24$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 5,2\times 4x+2\times 6y=2\times 24$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-4y=20,8x+12y=48$$

ลบ 8x+12y=48 จาก 8x-4y=20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-4y-12y=20-48$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-4y-12y=20-48$$

เพิ่ม -4y ไปยัง -12y

$$-16y=20-48$$

เพิ่ม 20 ไปยัง -48

$$-16y=-28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -16

$$y=\frac{7}{4}$$

ทดแทน \frac{7}{4} สำหรับ y ใน 4x+6y=24 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+6\times \frac{7}{4}=24$$

คูณ 6 ด้วย \frac{7}{4}

$$4x+\frac{21}{2}=24$$

ลบ \frac{21}{2} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=\frac{27}{2}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=\frac{27}{8}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{27}{8},y=\frac{7}{4}$$