แก้โจทย์ {l}{2x-y=5}{-x=30-3y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - y = 5 } \\ { - x = 30 - 3 y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=13$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+3y=30$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-y=5$$

เพิ่ม y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=y+5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(y+5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย y+5

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{5+y}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -x+3y=30

$$-\left(\frac{1}{2}y+\frac{5}{2}\right)+3y=30$$

คูณ -1 ด้วย \frac{5+y}{2}

$$-\frac{1}{2}y-\frac{5}{2}+3y=30$$

เพิ่ม -\frac{y}{2} ไปยัง 3y

$$\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}=30$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{5}{2}y=\frac{65}{2}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=13$$

ทดแทน 13 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{2}y+\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{2}\times 13+\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 13

$$x=\frac{13+5}{2}$$

เพิ่ม \frac{5}{2} ไปยัง \frac{13}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=13$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+3y=30$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2\times 3-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\30\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 30\\\frac{1}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 30\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=13$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการที่สอง เพิ่ม 3y ไปทั้งสองด้าน

$$-x+3y=30$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-y=5,-x+3y=30$$

เพื่อทำให้ 2x และ -x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$-2x-\left(-y\right)=-5,2\left(-1\right)x+2\times 3y=2\times 30$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2x+y=-5,-2x+6y=60$$

ลบ -2x+6y=60 จาก -2x+y=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x+2x+y-6y=-5-60$$

เพิ่ม -2x ไปยัง 2x ตัดพจน์ -2x และ 2x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$y-6y=-5-60$$

เพิ่ม y ไปยัง -6y

$$-5y=-5-60$$

เพิ่ม -5 ไปยัง -60

$$-5y=-65$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=13$$

ทดแทน 13 สำหรับ y ใน -x+3y=30 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-x+3\times 13=30$$

คูณ 3 ด้วย 13

$$-x+39=30$$

ลบ 39 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-x=-9$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=13$$