แก้โจทย์ {l}{2x-3y=-5}{4x+9y=-7}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 x - 3 y = - 5 } \\ { 4 x + 9 y = - 7 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$2x-3y=-5$$

เพิ่ม 3y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=3y-5$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

คูณ \frac{1}{2} ด้วย 3y-5

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

ทดแทน \frac{3y-5}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 4x+9y=-7

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+9y=-7$$

คูณ 4 ด้วย \frac{3y-5}{2}

$$6y-10+9y=-7$$

เพิ่ม 6y ไปยัง 9y

$$15y-10=-7$$

เพิ่ม 10 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$15y=3$$

หารทั้งสองข้างด้วย 15

$$y=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ y ใน x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{1}{5}-\frac{5}{2}$$

คูณ \frac{3}{2} ครั้ง \frac{1}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{3}{10}-\frac{5}{2}$$

เพิ่ม -\frac{5}{2} ไปยัง \frac{3}{10} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{11}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2\times 9-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{2}{15}&\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-7\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\left(-5\right)+\frac{1}{10}\left(-7\right)\\-\frac{2}{15}\left(-5\right)+\frac{1}{15}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{5}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$2x-3y=-5,4x+9y=-7$$

เพื่อทำให้ 2x และ 4x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 4 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 2

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\left(-5\right),2\times 4x+2\times 9y=2\left(-7\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$8x-12y=-20,8x+18y=-14$$

ลบ 8x+18y=-14 จาก 8x-12y=-20 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$8x-8x-12y-18y=-20+14$$

เพิ่ม 8x ไปยัง -8x ตัดพจน์ 8x และ -8x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y-18y=-20+14$$

เพิ่ม -12y ไปยัง -18y

$$-30y=-20+14$$

เพิ่ม -20 ไปยัง 14

$$-30y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -30

$$y=\frac{1}{5}$$

ทดแทน \frac{1}{5} สำหรับ y ใน 4x+9y=-7 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$4x+9\times \frac{1}{5}=-7$$

คูณ 9 ด้วย \frac{1}{5}

$$4x+\frac{9}{5}=-7$$

ลบ \frac{9}{5} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$4x=-\frac{44}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 4

$$x=-\frac{11}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{11}{5},y=\frac{1}{5}$$