แก้โจทย์ {l}{150y+200x=1000}{100y+400x=1200}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 y + 200 x = 1000 } \\ { 100 y + 400 x = 1200 } \end{array} \right.$$

หาค่า y, x

$$x=2$$

$$y=4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ y โดยแยก y ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$150y+200x=1000$$

ลบ 200x จากทั้งสองข้างของสมการ

$$150y=-200x+1000$$

หารทั้งสองข้างด้วย 150

$$y=\frac{1}{150}\left(-200x+1000\right)$$

คูณ \frac{1}{150} ด้วย -200x+1000

$$y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}$$

ทดแทน \frac{-4x+20}{3} สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 100y+400x=1200

$$100\left(-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3}\right)+400x=1200$$

คูณ 100 ด้วย \frac{-4x+20}{3}

$$-\frac{400}{3}x+\frac{2000}{3}+400x=1200$$

เพิ่ม -\frac{400x}{3} ไปยัง 400x

$$\frac{800}{3}x+\frac{2000}{3}=1200$$

ลบ \frac{2000}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{800}{3}x=\frac{1600}{3}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{800}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน y=-\frac{4}{3}x+\frac{20}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$y=-\frac{4}{3}\times 2+\frac{20}{3}$$

คูณ -\frac{4}{3} ด้วย 2

$$y=\frac{-8+20}{3}$$

เพิ่ม \frac{20}{3} ไปยัง -\frac{8}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$y=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=4,x=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&200\\100&400\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{400}{150\times 400-200\times 100}&-\frac{200}{150\times 400-200\times 100}\\-\frac{100}{150\times 400-200\times 100}&\frac{150}{150\times 400-200\times 100}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}&-\frac{1}{200}\\-\frac{1}{400}&\frac{3}{800}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1000\\1200\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{100}\times 1000-\frac{1}{200}\times 1200\\-\frac{1}{400}\times 1000+\frac{3}{800}\times 1200\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ y และ x

$$y=4,x=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$150y+200x=1000,100y+400x=1200$$

เพื่อทำให้ 150y และ 100y เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 100 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 150

$$100\times 150y+100\times 200x=100\times 1000,150\times 100y+150\times 400x=150\times 1200$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$15000y+20000x=100000,15000y+60000x=180000$$

ลบ 15000y+60000x=180000 จาก 15000y+20000x=100000 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$15000y-15000y+20000x-60000x=100000-180000$$

เพิ่ม 15000y ไปยัง -15000y ตัดพจน์ 15000y และ -15000y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$20000x-60000x=100000-180000$$

เพิ่ม 20000x ไปยัง -60000x

$$-40000x=100000-180000$$

เพิ่ม 100000 ไปยัง -180000

$$-40000x=-80000$$

หารทั้งสองข้างด้วย -40000

$$x=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ x ใน 100y+400x=1200 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$100y+400\times 2=1200$$

คูณ 400 ด้วย 2

$$100y+800=1200$$

ลบ 800 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$100y=400$$

หารทั้งสองข้างด้วย 100

$$y=4$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=4,x=2$$