แก้โจทย์ {l}{150x+y=35}{200x+y=10}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 150 x + y = 35 } \\ { 200 x + y = 10 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{1}{2}=-0.5$$

$$y=110$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$150x+y=35,200x+y=10$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$150x+y=35$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$150x=-y+35$$

หารทั้งสองข้างด้วย 150

$$x=\frac{1}{150}\left(-y+35\right)$$

คูณ \frac{1}{150} ด้วย -y+35

$$x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}$$

ทดแทน -\frac{y}{150}+\frac{7}{30} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 200x+y=10

$$200\left(-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30}\right)+y=10$$

คูณ 200 ด้วย -\frac{y}{150}+\frac{7}{30}

$$-\frac{4}{3}y+\frac{140}{3}+y=10$$

เพิ่ม -\frac{4y}{3} ไปยัง y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{140}{3}=10$$

ลบ \frac{140}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{110}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=110$$

ทดแทน 110 สำหรับ y ใน x=-\frac{1}{150}y+\frac{7}{30} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{1}{150}\times 110+\frac{7}{30}$$

คูณ -\frac{1}{150} ด้วย 110

$$x=-\frac{11}{15}+\frac{7}{30}$$

เพิ่ม \frac{7}{30} ไปยัง -\frac{11}{15} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{1}{2}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$150x+y=35,200x+y=10$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}150&1\\200&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{150-200}&-\frac{1}{150-200}\\-\frac{200}{150-200}&\frac{150}{150-200}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}&\frac{1}{50}\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\10\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{50}\times 35+\frac{1}{50}\times 10\\4\times 35-3\times 10\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\110\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$150x+y=35,200x+y=10$$

ลบ 200x+y=10 จาก 150x+y=35 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$150x-200x+y-y=35-10$$

เพิ่ม y ไปยัง -y ตัดพจน์ y และ -y ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$150x-200x=35-10$$

เพิ่ม 150x ไปยัง -200x

$$-50x=35-10$$

เพิ่ม 35 ไปยัง -10

$$-50x=25$$

หารทั้งสองข้างด้วย -50

$$x=-\frac{1}{2}$$

ทดแทน -\frac{1}{2} สำหรับ x ใน 200x+y=10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า y โดยตรงได้

$$200\left(-\frac{1}{2}\right)+y=10$$

คูณ 200 ด้วย -\frac{1}{2}

$$-100+y=10$$

เพิ่ม 100 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$y=110$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{1}{2},y=110$$