แก้โจทย์ {l}{10+2(x-2y)=(x+3)^2-(x+1)^2}{2x+y+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 10 + 2 ( x - 2 y ) = ( x + 3 ) ^ { 2 } - ( x + 1 ) ^ { 2 } } \\ { 2 x + y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-1$$

$$y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2y

$$10+2x-4y=\left(x+3\right)^{2}-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+3\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x^{2}+2x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+2x+1 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-x^{2}-2x-1$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$10+2x-4y=6x+9-2x-1$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$10+2x-4y=4x+9-1$$

ลบ 1 จาก 9 เพื่อรับ 8

$$10+2x-4y=4x+8$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$10+2x-4y-4x=8$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$10-2x-4y=8$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=8-10$$

ลบ 10 จาก 8 เพื่อรับ -2

$$-2x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x+y=-1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2x-4y=-2,2x+y=-1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2x-4y=-2$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2x=4y-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$x=-\frac{1}{2}\left(4y-2\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 4y-2

$$x=-2y+1$$

ทดแทน -2y+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+y=-1

$$2\left(-2y+1\right)+y=-1$$

คูณ 2 ด้วย -2y+1

$$-4y+2+y=-1$$

เพิ่ม -4y ไปยัง y

$$-3y+2=-1$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3y=-3$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน x=-2y+1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-2+1$$

เพิ่ม 1 ไปยัง -2

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2y

$$10+2x-4y=\left(x+3\right)^{2}-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+3\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x^{2}+2x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+2x+1 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-x^{2}-2x-1$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$10+2x-4y=6x+9-2x-1$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$10+2x-4y=4x+9-1$$

ลบ 1 จาก 9 เพื่อรับ 8

$$10+2x-4y=4x+8$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$10+2x-4y-4x=8$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$10-2x-4y=8$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=8-10$$

ลบ 10 จาก 8 เพื่อรับ -2

$$-2x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x+y=-1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2x-4y=-2,2x+y=-1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-4\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-2-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{-2-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{-2-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{2}{-2-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-2\right)+\frac{2}{3}\left(-1\right)\\-\frac{1}{3}\left(-2\right)-\frac{1}{3}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-1,y=1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-2y

$$10+2x-4y=\left(x+3\right)^{2}-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+3\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x+1\right)^{2}$$

ใช้ทฤษฎีบททวินาม \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} เพื่อขยาย \left(x+1\right)^{2}

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-\left(x^{2}+2x+1\right)$$

เมื่อต้องการค้นหาค่าตรงข้ามของ x^{2}+2x+1 ให้ค้นหาค่าตรงข้ามของแต่ละพจน์

$$10+2x-4y=x^{2}+6x+9-x^{2}-2x-1$$

รวม x^{2} และ -x^{2} เพื่อให้ได้รับ 0

$$10+2x-4y=6x+9-2x-1$$

รวม 6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ 4x

$$10+2x-4y=4x+9-1$$

ลบ 1 จาก 9 เพื่อรับ 8

$$10+2x-4y=4x+8$$

ลบ 4x จากทั้งสองด้าน

$$10+2x-4y-4x=8$$

รวม 2x และ -4x เพื่อให้ได้รับ -2x

$$10-2x-4y=8$$

ลบ 10 จากทั้งสองด้าน

$$-2x-4y=8-10$$

ลบ 10 จาก 8 เพื่อรับ -2

$$-2x-4y=-2$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 1 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$2x+y=-1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2x-4y=-2,2x+y=-1$$

เพื่อทำให้ -2x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$2\left(-2\right)x+2\left(-4\right)y=2\left(-2\right),-2\times 2x-2y=-2\left(-1\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-4x-8y=-4,-4x-2y=2$$

ลบ -4x-2y=2 จาก -4x-8y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-4x+4x-8y+2y=-4-2$$

เพิ่ม -4x ไปยัง 4x ตัดพจน์ -4x และ 4x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y+2y=-4-2$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 2y

$$-6y=-4-2$$

เพิ่ม -4 ไปยัง -2

$$-6y=-6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=1$$

ทดแทน 1 สำหรับ y ใน 2x+y=-1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+1=-1$$

ลบ 1 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-2$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-1$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-1,y=1$$