แก้โจทย์ {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-7x-4y=62$$

เพิ่ม 4y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-7x=4y+62$$

หารทั้งสองข้างด้วย -7

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

คูณ -\frac{1}{7} ด้วย 4y+62

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

ทดแทน \frac{-4y-62}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 3x+y=-2

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

คูณ 3 ด้วย \frac{-4y-62}{7}

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

เพิ่ม -\frac{12y}{7} ไปยัง y

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

เพิ่ม \frac{186}{7} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{172}{5}$$

ทดแทน -\frac{172}{5} สำหรับ y ใน x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

คูณ -\frac{4}{7} ครั้ง -\frac{172}{5} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

เพิ่ม -\frac{62}{7} ไปยัง \frac{688}{35} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=\frac{54}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

เพื่อทำให้ -7x และ 3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -7

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

ลบ -21x-7y=14 จาก -21x-12y=186 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

เพิ่ม -21x ไปยัง 21x ตัดพจน์ -21x และ 21x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-12y+7y=186-14$$

เพิ่ม -12y ไปยัง 7y

$$-5y=186-14$$

เพิ่ม 186 ไปยัง -14

$$-5y=172$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$y=-\frac{172}{5}$$

ทดแทน -\frac{172}{5} สำหรับ y ใน 3x+y=-2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

เพิ่ม \frac{172}{5} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=\frac{162}{5}$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{54}{5}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$