แก้โจทย์ {l}{-3x+y=-1}{5x-2y=11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 x + y = - 1 } \\ { 5 x - 2 y = 11 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-9$$

$$y=-28$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+y=-1$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=-y-1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-\frac{1}{3}\left(-y-1\right)$$

คูณ -\frac{1}{3} ด้วย -y-1

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}$$

ทดแทน \frac{1+y}{3} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 5x-2y=11

$$5\left(\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\right)-2y=11$$

คูณ 5 ด้วย \frac{1+y}{3}

$$\frac{5}{3}y+\frac{5}{3}-2y=11$$

เพิ่ม \frac{5y}{3} ไปยัง -2y

$$-\frac{1}{3}y+\frac{5}{3}=11$$

ลบ \frac{5}{3} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=\frac{28}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-28$$

ทดแทน -28 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{3}y+\frac{1}{3} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{1}{3}\left(-28\right)+\frac{1}{3}$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -28

$$x=\frac{-28+1}{3}$$

เพิ่ม \frac{1}{3} ไปยัง -\frac{28}{3} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-28$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{1}{-3\left(-2\right)-5}\\-\frac{5}{-3\left(-2\right)-5}&-\frac{3}{-3\left(-2\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&-1\\-5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\11\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\left(-1\right)-11\\-5\left(-1\right)-3\times 11\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-28\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-9,y=-28$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-3x+y=-1,5x-2y=11$$

เพื่อทำให้ -3x และ 5x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 5 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -3

$$5\left(-3\right)x+5y=5\left(-1\right),-3\times 5x-3\left(-2\right)y=-3\times 11$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-15x+5y=-5,-15x+6y=-33$$

ลบ -15x+6y=-33 จาก -15x+5y=-5 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-15x+15x+5y-6y=-5+33$$

เพิ่ม -15x ไปยัง 15x ตัดพจน์ -15x และ 15x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$5y-6y=-5+33$$

เพิ่ม 5y ไปยัง -6y

$$-y=-5+33$$

เพิ่ม -5 ไปยัง 33

$$-y=28$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-28$$

ทดแทน -28 สำหรับ y ใน 5x-2y=11 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$5x-2\left(-28\right)=11$$

คูณ -2 ด้วย -28

$$5x+56=11$$

ลบ 56 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$5x=-45$$

หารทั้งสองข้างด้วย 5

$$x=-9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-9,y=-28$$