แก้โจทย์ {l}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 3x-y

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+x

$$-9x+3y=2y+2x$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-9x+3y-2y=2x$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$-9x+y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-9x+y-2x=0$$

รวม -9x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -11x

$$-11x+y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+y

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3y

$$-6x-3y=2x-6y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-3y-2x=-6y$$

รวม -6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-3y=-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$-8x-3y+6y=0$$

รวม -3y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$-8x+3y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-11x+y=0$$

ลบ y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-11x=-y$$

หารทั้งสองข้างด้วย -11

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

คูณ -\frac{1}{11} ด้วย -y

$$x=\frac{1}{11}y$$

ทดแทน \frac{y}{11} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -8x+3y=0

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

คูณ -8 ด้วย \frac{y}{11}

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

เพิ่ม -\frac{8y}{11} ไปยัง 3y

$$\frac{25}{11}y=0$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{25}{11} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน x=\frac{1}{11}y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 3x-y

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+x

$$-9x+3y=2y+2x$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-9x+3y-2y=2x$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$-9x+y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-9x+y-2x=0$$

รวม -9x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -11x

$$-11x+y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+y

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3y

$$-6x-3y=2x-6y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-3y-2x=-6y$$

รวม -6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-3y=-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$-8x-3y+6y=0$$

รวม -3y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$-8x+3y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=0,y=0$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 3x-y

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย y+x

$$-9x+3y=2y+2x$$

ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$-9x+3y-2y=2x$$

รวม 3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ y

$$-9x+y=2x$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-9x+y-2x=0$$

รวม -9x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -11x

$$-11x+y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ -3 ด้วย 2x+y

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x-3y

$$-6x-3y=2x-6y$$

ลบ 2x จากทั้งสองด้าน

$$-6x-3y-2x=-6y$$

รวม -6x และ -2x เพื่อให้ได้รับ -8x

$$-8x-3y=-6y$$

เพิ่ม 6y ไปทั้งสองด้าน

$$-8x-3y+6y=0$$

รวม -3y และ 6y เพื่อให้ได้รับ 3y

$$-8x+3y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

เพื่อทำให้ -11x และ -8x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -8 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -11

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

ลบ 88x-33y=0 จาก 88x-8y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$88x-88x-8y+33y=0$$

เพิ่ม 88x ไปยัง -88x ตัดพจน์ 88x และ -88x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-8y+33y=0$$

เพิ่ม -8y ไปยัง 33y

$$25y=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย 25

$$y=0$$

ทดแทน 0 สำหรับ y ใน -8x+3y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-8x=0$$

หารทั้งสองข้างด้วย -8

$$x=0$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=0,y=0$$