แก้โจทย์ {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

หาค่า a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ a โดยแยก a ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2a-b+8=0$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-2a-b=-8$$

เพิ่ม b ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-2a=b-8$$

หารทั้งสองข้างด้วย -2

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย b-8

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

ทดแทน -\frac{b}{2}+4 สำหรับ a ในอีกสมการหนึ่ง a-2b+1=0

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

เพิ่ม -\frac{b}{2} ไปยัง -2b

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

เพิ่ม 4 ไปยัง 1

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

ลบ 5 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{5}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a=-\frac{1}{2}b+4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

คูณ -\frac{1}{2} ด้วย 2

$$a=-1+4$$

เพิ่ม 4 ไปยัง -1

$$a=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=2$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ a และ b

$$a=3,b=2$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

เพื่อทำให้ -2a และ a เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย -2

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

ลบ -2a+4b-2=0 จาก -2a-b+8=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

เพิ่ม -2a ไปยัง 2a ตัดพจน์ -2a และ 2a ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-b-4b+8+2=0$$

เพิ่ม -b ไปยัง -4b

$$-5b+8+2=0$$

เพิ่ม 8 ไปยัง 2

$$-5b+10=0$$

ลบ 10 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-5b=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย -5

$$b=2$$

ทดแทน 2 สำหรับ b ใน a-2b+1=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า a โดยตรงได้

$$a-2\times 2+1=0$$

คูณ -2 ด้วย 2

$$a-4+1=0$$

เพิ่ม -4 ไปยัง 1

$$a-3=0$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$a=3$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$a=3,b=2$$