แก้โจทย์ {l}{x-y/4+y+2/7=2y-8}{3y+4=8x-3y/3+9y-5x/4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 4 } + \frac { y + 2 } { 7 } = 2 y - 8 } \\ { 3 y + 4 = \frac { 8 x - 3 y } { 3 } + \frac { 9 y - 5 x } { 4 } } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=9$$

$$y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 28 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,7

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-y

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y+2

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

รวม -7y และ 4y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$7x-3y+8=56y-224$$

ลบ 56y จากทั้งสองด้าน

$$7x-3y+8-56y=-224$$

รวม -3y และ -56y เพื่อให้ได้รับ -59y

$$7x-59y+8=-224$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$7x-59y=-224-8$$

ลบ 8 จาก -224 เพื่อรับ -232

$$7x-59y=-232$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 8x-3y

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 9y-5x

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

รวม -12y และ 27y เพื่อให้ได้รับ 15y

$$36y+48=32x+15y-15x$$

รวม 32x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$36y+48=17x+15y$$

ลบ 17x จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x=15y$$

ลบ 15y จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x-15y=0$$

รวม 36y และ -15y เพื่อให้ได้รับ 21y

$$21y+48-17x=0$$

ลบ 48 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$21y-17x=-48$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$7x-59y=-232$$

เพิ่ม 59y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$7x=59y-232$$

หารทั้งสองข้างด้วย 7

$$x=\frac{1}{7}\left(59y-232\right)$$

คูณ \frac{1}{7} ด้วย 59y-232

$$x=\frac{59}{7}y-\frac{232}{7}$$

ทดแทน \frac{59y-232}{7} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -17x+21y=-48

$$-17\left(\frac{59}{7}y-\frac{232}{7}\right)+21y=-48$$

คูณ -17 ด้วย \frac{59y-232}{7}

$$-\frac{1003}{7}y+\frac{3944}{7}+21y=-48$$

เพิ่ม -\frac{1003y}{7} ไปยัง 21y

$$-\frac{856}{7}y+\frac{3944}{7}=-48$$

ลบ \frac{3944}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{856}{7}y=-\frac{4280}{7}$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{856}{7} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน x=\frac{59}{7}y-\frac{232}{7} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{59}{7}\times 5-\frac{232}{7}$$

คูณ \frac{59}{7} ด้วย 5

$$x=\frac{295-232}{7}$$

เพิ่ม -\frac{232}{7} ไปยัง \frac{295}{7} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=5$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 28 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,7

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-y

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y+2

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

รวม -7y และ 4y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$7x-3y+8=56y-224$$

ลบ 56y จากทั้งสองด้าน

$$7x-3y+8-56y=-224$$

รวม -3y และ -56y เพื่อให้ได้รับ -59y

$$7x-59y+8=-224$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$7x-59y=-224-8$$

ลบ 8 จาก -224 เพื่อรับ -232

$$7x-59y=-232$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 8x-3y

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 9y-5x

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

รวม -12y และ 27y เพื่อให้ได้รับ 15y

$$36y+48=32x+15y-15x$$

รวม 32x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$36y+48=17x+15y$$

ลบ 17x จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x=15y$$

ลบ 15y จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x-15y=0$$

รวม 36y และ -15y เพื่อให้ได้รับ 21y

$$21y+48-17x=0$$

ลบ 48 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$21y-17x=-48$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-59\\-17&21\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{21}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}&-\frac{-59}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}\\-\frac{-17}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}&\frac{7}{7\times 21-\left(-59\left(-17\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{856}&-\frac{59}{856}\\-\frac{17}{856}&-\frac{7}{856}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-232\\-48\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{21}{856}\left(-232\right)-\frac{59}{856}\left(-48\right)\\-\frac{17}{856}\left(-232\right)-\frac{7}{856}\left(-48\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\5\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=9,y=5$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 28 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,7

$$7\left(x-y\right)+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 7 ด้วย x-y

$$7x-7y+4\left(y+2\right)=56y-224$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย y+2

$$7x-7y+4y+8=56y-224$$

รวม -7y และ 4y เพื่อให้ได้รับ -3y

$$7x-3y+8=56y-224$$

ลบ 56y จากทั้งสองด้าน

$$7x-3y+8-56y=-224$$

รวม -3y และ -56y เพื่อให้ได้รับ -59y

$$7x-59y+8=-224$$

ลบ 8 จากทั้งสองด้าน

$$7x-59y=-224-8$$

ลบ 8 จาก -224 เพื่อรับ -232

$$7x-59y=-232$$

พิจารณาสมการที่สอง คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 3,4

$$36y+48=4\left(8x-3y\right)+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 4 ด้วย 8x-3y

$$36y+48=32x-12y+3\left(9y-5x\right)$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย 9y-5x

$$36y+48=32x-12y+27y-15x$$

รวม -12y และ 27y เพื่อให้ได้รับ 15y

$$36y+48=32x+15y-15x$$

รวม 32x และ -15x เพื่อให้ได้รับ 17x

$$36y+48=17x+15y$$

ลบ 17x จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x=15y$$

ลบ 15y จากทั้งสองด้าน

$$36y+48-17x-15y=0$$

รวม 36y และ -15y เพื่อให้ได้รับ 21y

$$21y+48-17x=0$$

ลบ 48 จากทั้งสองด้าน สิ่งใดลบออกจากศูนย์จะได้ผลเป็นตัวเองที่เป็นค่าลบ

$$21y-17x=-48$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$7x-59y=-232,-17x+21y=-48$$

เพื่อทำให้ 7x และ -17x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -17 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 7

$$-17\times 7x-17\left(-59\right)y=-17\left(-232\right),7\left(-17\right)x+7\times 21y=7\left(-48\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-119x+1003y=3944,-119x+147y=-336$$

ลบ -119x+147y=-336 จาก -119x+1003y=3944 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-119x+119x+1003y-147y=3944+336$$

เพิ่ม -119x ไปยัง 119x ตัดพจน์ -119x และ 119x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$1003y-147y=3944+336$$

เพิ่ม 1003y ไปยัง -147y

$$856y=3944+336$$

เพิ่ม 3944 ไปยัง 336

$$856y=4280$$

หารทั้งสองข้างด้วย 856

$$y=5$$

ทดแทน 5 สำหรับ y ใน -17x+21y=-48 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-17x+21\times 5=-48$$

คูณ 21 ด้วย 5

$$-17x+105=-48$$

ลบ 105 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$-17x=-153$$

หารทั้งสองข้างด้วย -17

$$x=9$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=9,y=5$$