แก้โจทย์ {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$3x-3y-2y=6$$

รวม -3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$3x-5y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง หารแต่ละพจน์ของ 2x+y ด้วย 2 ให้ได้ x+\frac{1}{2}y

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

รวม \frac{1}{2}y และ -y เพื่อให้ได้รับ -\frac{1}{2}y

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-5y=6$$

เพิ่ม 5y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=5y+6$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย 5y+6

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

ทดแทน \frac{5y}{3}+2 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง x-\frac{1}{2}y=0

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

เพิ่ม \frac{5y}{3} ไปยัง -\frac{y}{2}

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

ลบ 2 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{7}{6}y=-2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{7}{6} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{12}{7}$$

ทดแทน -\frac{12}{7} สำหรับ y ใน x=\frac{5}{3}y+2 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

คูณ \frac{5}{3} ครั้ง -\frac{12}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

เพิ่ม 2 ไปยัง -\frac{20}{7}

$$x=-\frac{6}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$3x-3y-2y=6$$

รวม -3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$3x-5y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง หารแต่ละพจน์ของ 2x+y ด้วย 2 ให้ได้ x+\frac{1}{2}y

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

รวม \frac{1}{2}y และ -y เพื่อให้ได้รับ -\frac{1}{2}y

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 6 ตัวคูณร่วมน้อยของ 2,3

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 3 ด้วย x-y

$$3x-3y-2y=6$$

รวม -3y และ -2y เพื่อให้ได้รับ -5y

$$3x-5y=6$$

พิจารณาสมการที่สอง หารแต่ละพจน์ของ 2x+y ด้วย 2 ให้ได้ x+\frac{1}{2}y

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

ลบ y จากทั้งสองด้าน

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

รวม \frac{1}{2}y และ -y เพื่อให้ได้รับ -\frac{1}{2}y

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

เพื่อทำให้ 3x และ x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 1 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

ลบ 3x-\frac{3}{2}y=0 จาก 3x-5y=6 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

เพิ่ม 3x ไปยัง -3x ตัดพจน์ 3x และ -3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

เพิ่ม -5y ไปยัง \frac{3y}{2}

$$-\frac{7}{2}y=6$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย -\frac{7}{2} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$y=-\frac{12}{7}$$

ทดแทน -\frac{12}{7} สำหรับ y ใน x-\frac{1}{2}y=0 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

คูณ -\frac{1}{2} ครั้ง -\frac{12}{7} โดยการคูณเศษด้วยเศษและคูณตัวส่วนด้วยส่วน แล้วลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำสุดถ้าเป็นไปได้

$$x+\frac{6}{7}=0$$

ลบ \frac{6}{7} จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=-\frac{6}{7}$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$