แก้โจทย์ {l}{x^2/4+y^2/3=1}{y=k(x+1)}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 3 } = 1 } \\ { y = k ( x + 1 ) } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 12 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,3

$$3x^{2}+4y^{2}=12$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ k ด้วย x+1

$$y=kx+k$$

ทดแทน kx+k สำหรับ y ในอีกสมการหนึ่ง 3x^{2}+4y^{2}=12

$$3x^{2}+4\left(kx+k\right)^{2}=12$$

ยกกำลังสอง kx+k

$$3x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}\right)=12$$

คูณ 4 ด้วย k^{2}x^{2}+2kkx+k^{2}

$$3x^{2}+4k^{2}x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

เพิ่ม 3x^{2} ไปยัง 4k^{2}x^{2}

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}=12$$

ลบ 12 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(4k^{2}+3\right)x^{2}+8k^{2}x+4k^{2}-12=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 3+4k^{2} แทน a, 4\times 2kk แทน b และ 4k^{2}-12 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{\left(8k^{2}\right)^{2}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

ยกกำลังสอง 4\times 2kk

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}-4\left(4k^{2}+3\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

คูณ -4 ด้วย 3+4k^{2}

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+\left(-16k^{2}-12\right)\left(4k^{2}-12\right)}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

คูณ -12-16k^{2} ด้วย 4k^{2}-12

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{64k^{4}+144+144k^{2}-64k^{4}}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

เพิ่ม 64k^{4} ไปยัง 144+144k^{2}-64k^{4}

$$x=\frac{-8k^{2}±\sqrt{144k^{2}+144}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

หารากที่สองของ 144k^{2}+144

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{2\left(4k^{2}+3\right)}$$

คูณ 2 ด้วย 3+4k^{2}

$$x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -8k^{2} ไปยัง 12\sqrt{k^{2}+1}

$$x=\frac{-8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

หาร -8k^{2}+12\sqrt{k^{2}+1} ด้วย 6+8k^{2}

$$x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

ตอนนี้ แก้สมการ x=\frac{-8k^{2}±12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 12\sqrt{k^{2}+1} จาก -8k^{2}

$$x=\frac{-8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1}}{8k^{2}+6}$$

หาร -8k^{2}-12\sqrt{k^{2}+1} ด้วย 6+8k^{2}

$$x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ x:\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} และ -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} ทดแทน \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx+k เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\times \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}+k$$

คูณ k ด้วย \frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{3+4k^{2}}

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k$$

แทนค่า -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}} สำหรับ x ในสมการ y=kx+k และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ y ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$y=k\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)+k$$

คูณ k ด้วย -\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{1+k^{2}}\right)}{3+4k^{2}}

$$y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$y=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}k+k,x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\right)k+k,x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(-2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{; }x=\frac{2\left(-2k^{2}+3\sqrt{k^{2}+1}\right)}{4k^{2}+3}\text{, }y=\frac{3k\left(2\sqrt{k^{2}+1}+1\right)}{4k^{2}+3}\text{, }&k\neq -\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ and }k\neq \frac{\sqrt{3}i}{2}\\x=\frac{3-k^{2}}{2k^{2}}\text{, }y=\frac{k^{2}+3}{2k}\text{, }&k=-\frac{\sqrt{3}i}{2}\text{ or }k=\frac{\sqrt{3}i}{2}\end{matrix}\right.$$