แก้โจทย์ {l}{x^2/4+y^2/2=1}{x=my+1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 } \\ { x = m y + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}$$

$$x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทนค่าและสูตรสองชั้น

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 4 ตัวคูณร่วมน้อยของ 4,2

$$x^{2}+2y^{2}=4$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ my จากทั้งสองด้าน

$$x-my=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x+\left(-m\right)y=1,2y^{2}+x^{2}=4$$

หาค่า x+\left(-m\right)y=1 สำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x+\left(-m\right)y=1$$

ลบ \left(-m\right)y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$x=my+1$$

ทดแทน my+1 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2y^{2}+x^{2}=4

$$2y^{2}+\left(my+1\right)^{2}=4$$

ยกกำลังสอง my+1

$$2y^{2}+m^{2}y^{2}+2my+1=4$$

เพิ่ม 2y^{2} ไปยัง m^{2}y^{2}

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my+1=4$$

ลบ 4 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$\left(m^{2}+2\right)y^{2}+2my-3=0$$

สมการนี้อยู่ในรูปมาตรฐาน: ax^{2}+bx+c=0 ใช้ 2+1m^{2} แทน a, 1\times 1\times 2m แทน b และ -3 แทน c ในสูตรกำลังสอง \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}

$$y=\frac{-2m±\sqrt{\left(2m\right)^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

ยกกำลังสอง 1\times 1\times 2m

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}-4\left(m^{2}+2\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

คูณ -4 ด้วย 2+1m^{2}

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+\left(-4m^{2}-8\right)\left(-3\right)}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

คูณ -8-4m^{2} ด้วย -3

$$y=\frac{-2m±\sqrt{4m^{2}+12m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

เพิ่ม 4m^{2} ไปยัง 24+12m^{2}

$$y=\frac{-2m±\sqrt{16m^{2}+24}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

หารากที่สองของ 24+16m^{2}

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2\left(m^{2}+2\right)}$$

คูณ 2 ด้วย 2+1m^{2}

$$y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} เมื่อ ± เป็นบวก เพิ่ม -2m ไปยัง 2\sqrt{6+4m^{2}}

$$y=\frac{2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

หาร -2m+2\sqrt{6+4m^{2}} ด้วย 4+2m^{2}

$$y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}$$

ตอนนี้ แก้สมการ y=\frac{-2m±2\sqrt{4m^{2}+6}}{2m^{2}+4} เมื่อ ± เป็นลบ ลบ 2\sqrt{6+4m^{2}} จาก -2m

$$y=\frac{-2\sqrt{4m^{2}+6}-2m}{2m^{2}+4}$$

หาร -2m-2\sqrt{6+4m^{2}} ด้วย 4+2m^{2}

$$y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

มีสองได้ผลเฉลยสำหรับ y:\frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} และ -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ทดแทน \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} สำหรับ y ในสมการ x=my+1 เพื่อหาวิธีแก้ไขที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=m\times \frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}+1$$

คูณ m ด้วย \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}

$$x=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m+1$$

เพิ่ม m\times \frac{-m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} ไปยัง 1

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m$$

แทนค่า -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}} สำหรับ y ในสมการ x=my+1 และหาค่าเพื่อหาผลเฉลยที่สอดคล้องกันสำหรับ x ซึ่งเป็นไปตามสมการทั้งสอง

$$x=m\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)+1$$

คูณ m ด้วย -\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}

$$x=\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m+1$$

เพิ่ม m\left(-\frac{m+\sqrt{6+4m^{2}}}{2+m^{2}}\right) ไปยัง 1

$$x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=1+\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}m,y=\frac{\sqrt{4m^{2}+6}-m}{m^{2}+2}\text{ or }x=1+\left(-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}\right)m,y=-\frac{\sqrt{4m^{2}+6}+m}{m^{2}+2}$$

หาค่า x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\sqrt{2}\left(-m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=-\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}+m}{m^{2}+2}\text{; }x=\frac{\sqrt{2}\left(m\sqrt{2m^{2}+3}+\sqrt{2}\right)}{m^{2}+2}\text{, }y=\frac{\sqrt{2\left(2m^{2}+3\right)}-m}{m^{2}+2}\text{, }&m\neq -\sqrt{2}i\text{ and }m\neq \sqrt{2}i\\x=\frac{5}{2}=2.5\text{, }y=\frac{3}{2m}\text{, }&m=-\sqrt{2}i\text{ or }m=\sqrt{2}i\end{matrix}\right.$$