แก้โจทย์ {l}{7/3x-3/4y=x-2}{2x-y=-4}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 7 } { 3 } x - \frac { 3 } { 4 } y = x - 2 } \\ { 2 x - y = - 4 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-6$$

$$y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

รวม \frac{7}{3}x และ -x เพื่อให้ได้รับ \frac{4}{3}x

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

เพิ่ม \frac{3y}{4} ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{4}{3}x=\frac{3}{4}y-2$$

หารทั้งสองข้างของสมการด้วย \frac{4}{3} ซึ่งเหมือนกับการคูณทั้งสองข้างด้วยส่วนกลับของเศษส่วน

$$x=\frac{3}{4}\left(\frac{3}{4}y-2\right)$$

คูณ \frac{3}{4} ด้วย \frac{3y}{4}-2

$$x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}$$

ทดแทน \frac{9y}{16}-\frac{3}{2} สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x-y=-4

$$2\left(\frac{9}{16}y-\frac{3}{2}\right)-y=-4$$

คูณ 2 ด้วย \frac{9y}{16}-\frac{3}{2}

$$\frac{9}{8}y-3-y=-4$$

เพิ่ม \frac{9y}{8} ไปยัง -y

$$\frac{1}{8}y-3=-4$$

เพิ่ม 3 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$\frac{1}{8}y=-1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย 8

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน x=\frac{9}{16}y-\frac{3}{2} เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=\frac{9}{16}\left(-8\right)-\frac{3}{2}$$

คูณ \frac{9}{16} ด้วย -8

$$x=\frac{-9-3}{2}$$

เพิ่ม -\frac{3}{2} ไปยัง -\frac{9}{2} ด้วยการค้นหาตัวส่วนทั่วไปและเพิ่มตัวเศษ แล้ว ลดเศษส่วนให้เป็นพจน์ต่ำที่สุดถ้าเป็นไปได้

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=-8$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

รวม \frac{7}{3}x และ -x เพื่อให้ได้รับ \frac{4}{3}x

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}&-\frac{3}{4}\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\\-\frac{2}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}&\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}\left(-1\right)-\left(-\frac{3}{4}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6&\frac{9}{2}\\-12&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-4\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\left(-2\right)+\frac{9}{2}\left(-4\right)\\-12\left(-2\right)+8\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-8\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-6,y=-8$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ x จากทั้งสองด้าน

$$\frac{7}{3}x-\frac{3}{4}y-x=-2$$

รวม \frac{7}{3}x และ -x เพื่อให้ได้รับ \frac{4}{3}x

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$\frac{4}{3}x-\frac{3}{4}y=-2,2x-y=-4$$

เพื่อทำให้ \frac{4x}{3} และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย \frac{4}{3}

$$2\times \frac{4}{3}x+2\left(-\frac{3}{4}\right)y=2\left(-2\right),\frac{4}{3}\times 2x+\frac{4}{3}\left(-1\right)y=\frac{4}{3}\left(-4\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4,\frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3}$$

ลบ \frac{8}{3}x-\frac{4}{3}y=-\frac{16}{3} จาก \frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y=-4 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\frac{8}{3}x-\frac{8}{3}x-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

เพิ่ม \frac{8x}{3} ไปยัง -\frac{8x}{3} ตัดพจน์ \frac{8x}{3} และ -\frac{8x}{3} ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$-\frac{3}{2}y+\frac{4}{3}y=-4+\frac{16}{3}$$

เพิ่ม -\frac{3y}{2} ไปยัง \frac{4y}{3}

$$-\frac{1}{6}y=-4+\frac{16}{3}$$

เพิ่ม -4 ไปยัง \frac{16}{3}

$$-\frac{1}{6}y=\frac{4}{3}$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -6

$$y=-8$$

ทดแทน -8 สำหรับ y ใน 2x-y=-4 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x-\left(-8\right)=-4$$

ลบ 8 จากทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-12$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-6$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-6,y=-8$$