แก้โจทย์ {l}{3x+5y/6=-5}{2(x+7)+3y=-5}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x + 5 y } { 6 } = - 5 } \\ { 2 ( x + 7 ) + 3 y = - 5 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-5$$

$$y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 6

$$3x+5y=-5\times 6$$

คูณ -5 และ 6 เพื่อรับ -30

$$3x+5y=-30$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+7

$$2x+14+3y=-5$$

ลบ 14 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-5-14$$

ลบ 14 จาก -5 เพื่อรับ -19

$$2x+3y=-19$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$3x+5y=-30$$

ลบ 5y จากทั้งสองข้างของสมการ

$$3x=-5y-30$$

หารทั้งสองข้างด้วย 3

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y-30\right)$$

คูณ \frac{1}{3} ด้วย -5y-30

$$x=-\frac{5}{3}y-10$$

ทดแทน -\frac{5y}{3}-10 สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง 2x+3y=-19

$$2\left(-\frac{5}{3}y-10\right)+3y=-19$$

คูณ 2 ด้วย -\frac{5y}{3}-10

$$-\frac{10}{3}y-20+3y=-19$$

เพิ่ม -\frac{10y}{3} ไปยัง 3y

$$-\frac{1}{3}y-20=-19$$

เพิ่ม 20 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-\frac{1}{3}y=1$$

คูณทั้งสองข้างด้วย -3

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน x=-\frac{5}{3}y-10 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=-\frac{5}{3}\left(-3\right)-10$$

คูณ -\frac{5}{3} ด้วย -3

$$x=5-10$$

เพิ่ม -10 ไปยัง 5

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=-3$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 6

$$3x+5y=-5\times 6$$

คูณ -5 และ 6 เพื่อรับ -30

$$3x+5y=-30$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+7

$$2x+14+3y=-5$$

ลบ 14 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-5-14$$

ลบ 14 จาก -5 เพื่อรับ -19

$$2x+3y=-19$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-5\times 2}&-\frac{5}{3\times 3-5\times 2}\\-\frac{2}{3\times 3-5\times 2}&\frac{3}{3\times 3-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\-19\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\left(-30\right)+5\left(-19\right)\\2\left(-30\right)-3\left(-19\right)\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-3\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-5,y=-3$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก คูณทั้งสองข้างด้วย 6

$$3x+5y=-5\times 6$$

คูณ -5 และ 6 เพื่อรับ -30

$$3x+5y=-30$$

พิจารณาสมการที่สอง ใช้คุณสมบัติการแจกแจงเพื่อคูณ 2 ด้วย x+7

$$2x+14+3y=-5$$

ลบ 14 จากทั้งสองด้าน

$$2x+3y=-5-14$$

ลบ 14 จาก -5 เพื่อรับ -19

$$2x+3y=-19$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$3x+5y=-30,2x+3y=-19$$

เพื่อทำให้ 3x และ 2x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย 2 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 3

$$2\times 3x+2\times 5y=2\left(-30\right),3\times 2x+3\times 3y=3\left(-19\right)$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$6x+10y=-60,6x+9y=-57$$

ลบ 6x+9y=-57 จาก 6x+10y=-60 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$6x-6x+10y-9y=-60+57$$

เพิ่ม 6x ไปยัง -6x ตัดพจน์ 6x และ -6x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$10y-9y=-60+57$$

เพิ่ม 10y ไปยัง -9y

$$y=-60+57$$

เพิ่ม -60 ไปยัง 57

$$y=-3$$

ทดแทน -3 สำหรับ y ใน 2x+3y=-19 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$2x+3\left(-3\right)=-19$$

คูณ 3 ด้วย -3

$$2x-9=-19$$

เพิ่ม 9 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$2x=-10$$

หารทั้งสองข้างด้วย 2

$$x=-5$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-5,y=-3$$