แก้โจทย์ {c}{x=2y}{5y=3x+1}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x = 2 y } \\ { 5 y = 3 x + 1 } \end{array} \right.$$

หาค่า x, y

$$x=-2$$

$$y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้การแทน

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5y-3x=1$$

เมื่อต้องการแก้คู่สมการที่ใช้ตัวทดแทน ขั้นแรก หาค่าสมการหนึ่งในสมการของหนึ่งในตัวแปร จากนั้น แทนค่าผลลัพธ์ของตัวแปรที่อยู่ในอีกสมการหนึ่ง

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

เลือกสมการหนึ่งสมการ และหาค่าสำหรับ x โดยแยก x ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$x-2y=0$$

เพิ่ม 2y ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$x=2y$$

ทดแทน 2y สำหรับ x ในอีกสมการหนึ่ง -3x+5y=1

$$-3\times 2y+5y=1$$

คูณ -3 ด้วย 2y

$$-6y+5y=1$$

เพิ่ม -6y ไปยัง 5y

$$-y=1$$

หารทั้งสองข้างด้วย -1

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน x=2y เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$x=2\left(-1\right)$$

คูณ 2 ด้วย -1

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-1$$

ขั้นตอนการใช้เมทริกซ์

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5y-3x=1$$

ทำสมการให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นใช้เมทริกซ์แก้ระบบสมการ

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

เขียนสมการในรูปแบบเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณซ้ายสมการโดยเมทริกซ์ผกผันของ \left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ผลคูณของเมทริกซ์และค่าผกผันของเมทริกซ์คือเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์ทางด้านซ้ายของเครื่องหมายเท่ากับ

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

สําหรับเมทริกซ์ 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) เมทริกซ์ผกผันคือ \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ดังนั้นสมการเมทริกซ์สามารถเขียนใหม่เป็นปัญหาการคูณเมทริกซ์ได้

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-2\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

ดำเนินการทางคณิตศาสตร์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&-2\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\1\end{matrix}\right)$$

คูณเมทริกซ์

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-1\end{matrix}\right)$$

แยกเมทริกซ์องค์ประกอบ x และ y

$$x=-2,y=-1$$

ขั้นตอนที่ใช้วิธีกำจัด

พิจารณาสมการแรก ลบ 2y จากทั้งสองด้าน

$$x-2y=0$$

พิจารณาสมการที่สอง ลบ 3x จากทั้งสองด้าน

$$5y-3x=1$$

เพื่อที่จะแก้ไขได้โดยการตัดออก สัมประสิทธิ์ของตัวแปรหนึ่งต้องเหมือนกันในทั้งสองสมการเพื่อให้ตัวแปรถูกตัดเมื่อสมการหนึ่งถูกลบออกจากอีกสมการ

$$x-2y=0,-3x+5y=1$$

เพื่อทำให้ x และ -3x เท่ากัน คูณพจน์ทั้งหมดบนแต่ละข้างของสมการแรกด้วย -3 และพจน์ทั้งหมดในแต่ละด้านของสมการที่สองด้วย 1

$$-3x-3\left(-2\right)y=0,-3x+5y=1$$

ทำให้ง่ายขึ้น

$$-3x+6y=0,-3x+5y=1$$

ลบ -3x+5y=1 จาก -3x+6y=0 โดยลบพจน์ที่เหมือนกันบนแต่ละข้างของเครื่องหมายเท่ากับ

$$-3x+3x+6y-5y=-1$$

เพิ่ม -3x ไปยัง 3x ตัดพจน์ -3x และ 3x ทำให้สมการเหลือตัวแปรเดียวเท่านั้นที่สามารถแก้ไขได้

$$6y-5y=-1$$

เพิ่ม 6y ไปยัง -5y

$$y=-1$$

ทดแทน -1 สำหรับ y ใน -3x+5y=1 เนื่องจากสมการเป็นผลลัพธ์ประกอบด้วยตัวแปรเดียว คุณสามารถหาค่า x โดยตรงได้

$$-3x+5\left(-1\right)=1$$

คูณ 5 ด้วย -1

$$-3x-5=1$$

เพิ่ม 5 ไปยังทั้งสองข้างของสมการ

$$-3x=6$$

หารทั้งสองข้างด้วย -3

$$x=-2$$

ระบบถูกแก้แล้วในขณะนี้

$$x=-2,y=-1$$